Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
342 vizualizari

Fie P un punct oarecare în interiorul triunghiului ABC și A1, B1, C1 picioarele perpendicularelor duse din P pe laturile triunghiului. Notând cu A aria, să se demonstreze :

 \small A_{A_{1}B_{1}C_{1}}\leq \frac{A_{ABC}}{4}.

a intrebat Experimentat (4.7k puncte) in categoria Matematica
0 0
aici este un link cu calculul ariei triunghiului pedal al lui P.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/AreaOfPedal.html

Demonstratia e corecta dar nu foarte detaliata ,se foloseste faptul ca P impreuna cu proiectiile sale si varfurile determina 4 patrulatere inscriptibile,folosind proprietatile patrulaterului inscriptibil se demonstreaza congruenta unghiurilor dupa care teorema sinusurior aplicata de mai multe ori .Relatia data e aceeasi cu ceea data de Liviu dupa mici transformari din teorema sinusurilor.
0 0

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri

O solutia simpla se obtine observand ca  triunghiul A1 B1 C1 este triunghiul pedal ( sau podar?) al lui P in raport cu triunghiul ABC. Exista o formula pentru determinarea ariei unui asemenea triunghi

A(A1 B1 C1)=A(ABC)/4x(R2-OP2)/R2, (aici  am gasit dem.https://www.cut-the-knot.org/triangle/PedalTriangle.shtml),

unde O e centrul cercului circumscris triunghiului ABC, R= raza aceluiasi cerc. Se poate usor vedea ca  A(A1 B1 C1) are valoarea maxima cand OP=0, deci triunghiul nostru este triunghiul median si aceasta este A(ABC)/4. Pentru orice alta pozitie a lui P , OP2 este mai mare decat zero, deci (R2-OP2)< R2, deci A(A1 B1 C1)<A(ABC)/4

a raspuns Novice (336 puncte)
0 0
Foarte tare,nu stiam ca se numeste asa.Intradevar formula asta simplifica problema mult.Problema este foarte grea,am incercat dar nu am reusit nimic concret

...