Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,396 intrebari

6,605 raspunsuri

15,061 comentarii

2,150 utilizatori

Inegalitate geometrică

1 plus 0 minusuri
177 vizualizari

Fie P un punct oarecare în interiorul triunghiului ABC și A1, B1, C1 picioarele perpendicularelor duse din P pe laturile triunghiului. Notând cu A aria, să se demonstreze :

 \small A_{A_{1}B_{1}C_{1}}\leq \frac{A_{ABC}}{4}.

a intrebat Gheorghiţa Experimentat (4,192 puncte) Ian 11 in categoria Matematica
aici este un link cu calculul ariei triunghiului pedal al lui P.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/AreaOfPedal.html

Demonstratia e corecta dar nu foarte detaliata ,se foloseste faptul ca P impreuna cu proiectiile sale si varfurile determina 4 patrulatere inscriptibile,folosind proprietatile patrulaterului inscriptibil se demonstreaza congruenta unghiurilor dupa care teorema sinusurior aplicata de mai multe ori .Relatia data e aceeasi cu ceea data de Liviu dupa mici transformari din teorema sinusurilor.

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri

O solutia simpla se obtine observand ca  triunghiul A1 B1 C1 este triunghiul pedal ( sau podar?) al lui P in raport cu triunghiul ABC. Exista o formula pentru determinarea ariei unui asemenea triunghi

A(A1 B1 C1)=A(ABC)/4x(R2-OP2)/R2, (aici  am gasit dem.https://www.cut-the-knot.org/triangle/PedalTriangle.shtml),

unde O e centrul cercului circumscris triunghiului ABC, R= raza aceluiasi cerc. Se poate usor vedea ca  A(A1 B1 C1) are valoarea maxima cand OP=0, deci triunghiul nostru este triunghiul median si aceasta este A(ABC)/4. Pentru orice alta pozitie a lui P , OP2 este mai mare decat zero, deci (R2-OP2)< R2, deci A(A1 B1 C1)<A(ABC)/4

a raspuns Livia Felea Novice (317 puncte) Ian 15
Foarte tare,nu stiam ca se numeste asa.Intradevar formula asta simplifica problema mult.Problema este foarte grea,am incercat dar nu am reusit nimic concret

...