Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,396 intrebari

6,605 raspunsuri

15,061 comentarii

2,149 utilizatori

Problema de concurs. Probabilitate geometrica. Variantă a unei probleme dată la Putnam

1 plus 0 minusuri
173 vizualizari

Am aflat si eu de pe net, auzisem de concursul Putnam destinat elevilor si, atentie!, studentilor nelicentiati din SUA si Canada. Dar nu stiam ca este ”asa de imposibil”; din ce am inteles concursul se tine incepand din 1938 in prima sambata a lunii decembrie. Concursul are 2 seturi a cate 6 probleme si are loc in 2 sesiuni a cate 3 ore pentru fiecare set in parte, punctajul maxim fiind de 120p si, atentie!, media obtinuta este de numai 2p din 120p.

Problema:

Care este probabilitatea ca, alegand 3 puncte pe un cerc, triunghiul determinat sa contina centrul cercului?



(problema din concurs era in spatiu cu 4 puncte pe o sfera  si tetratedrul sau planul determinat sa contină centrul sferei)

a intrebat zec Experimentat (2,069 puncte) Dec 17, 2017 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Considerăm unghiul BAC, cu vârful în A și cu punctele A, B, C situate pe circumferință. Fără a restrânge generalitatea, fixăm punctul A.  În desenul meu l-am pus la ora 12.00 -.

1. Observăm că unghiul BAC poate lua valori în intervalul (0, 180°).

a) Dacă unghiul BAC>90°, centrul cercului nu poate fi conținut

de triunghiul ABC.

b) Dacă unghiul BAC<=90º, centrul cercului poate fi conținut de triunghiul ABC. 

Cum pozițiile punctelor B și C sunt aleatoare, evenimentele de la punctele a) și b) sunt echiprobabile. Avem deci o primă probabilitate  de a putea construi un triunghi care să conțină centrul cercului, în funcție de mărimea unghiului BAC,

P1= 0.5

2. Condiția pusă unghiului BAC e necesară, dar nu suficientă pentru ca triunghiul ABC să conțină centrul cercului.

O a doua condiție este ca laturile AB și AC să fie situate de o parte și de cealaltă a diametrului din A al cercului, adică, dacă una din laturi este situată în interiorul semicercului din stânga, cealaltă trebuie să se afle în semicercul din dreapta. 

Este evident că acest eveniment se poate realiza cu o probabilitate P2= 0.5, cele două semicercuri fiind egale.

Cum condițiile de la punctele 1. și 2. trebuie îndeplinite simultan, rezultă că probabilitatea P, cerută, este egală cu produsul probabilităților P1 și P2, adică

P= 0.5*0.5 = 0.25.

a raspuns Puiu Senior (6,171 puncte) Dec 19, 2017
selectat de zec Dec 21, 2017
Foarte buna solutia.Ca sa completez probabilitatile P1 si P2 se calculeaza pe masura de 90/180 avand valorile de la 0 la 90 adica de masura 90, pe valorile de la 0 la 180 cu masura de 180 iar P2 pe lungime semicerc/L cerc  deoarece dupa ce fixam punctul B ,cazurile favorabile pentru punctul C fiind un semicerc cu exceptia capetelor , dar acesta au masura nula..Astept sa vad daca mai apar si alt solutii.
0 plusuri 0 minusuri

Am sa prezint si solutia de pe net,nu a mea personala deoarece este foarte eleganta..

Sa fixam intai 2 puncte A si B si daca ducem diametrele AA' si respectiv BB' sa remarcam ca punctul C convine doar daca se afla pe arcul A'B'.Se poate anticipa probabilitatea si asa .Probabilitatea ca un punct sa fie situat pe un arc este Larc/Lcerc.Doar ca in cazul nostru arcul A'B" egal cu arcul AB variaza de la 0 la 180 si deci probabilitatea variaza liniar de la 0 la 1/2.Deci probabilitatea ceruta ar fi media ,adica 1/4.Dar o alta idee mai interesanta si mai justificativa este urmatoarea .Sa fixam 2 diametre pentru punctele A si B si sa luam un punct C in afara lor .Punctul A poate avea 2 pozitii pe diametrul lui la fel si punctul B deci avem 4 combinatii in care sa consideram A si B pe diametrele respective ,dar numai un singur triunghi din cele 4 situatii admite punctul C in arcul potrivit sau mai exact triunghiul ABC va contine centrul,de unde obtinem P=1/4

a raspuns zec Experimentat (2,069 puncte) Dec 21, 2017

...