Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,305 intrebari

6,472 raspunsuri

15,032 comentarii

2,117 utilizatori

Problema de teoria numerelor.

1 plus 0 minusuri
355 vizualizari

aratati ca \frac{3^n-2^n}{n} nu poate fi intreg oricare ar fi n natural n>1

a intrebat zec Experimentat (2,022 puncte) Oct 17 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Mai întâi remarcăm că n nu poate fi multiplu de 2 (3n-2n este impar) și de 3 (3n-2n=3n-(3-1)n=3n-(M3-1)=M3+1, din dezvoltarea binomială). Oricum, observația se suprapune cu cazul n prim din răspunsul lui CiprianM.
Presupunem că există n număr natural astfel încât \small \frac{3^{n}-2^{n}}{n} este un întreg: \small \3^{n}-2^{n}{}\equiv 0 (mod n). Notând cu p cel mai mic factor prim al lui n, p divide n, deci p divide 3n-2n,\small \Rightarrow 3^{n}-2^{n}\equiv 0 (modp ). Conform micii teoreme a lui Fermat pentru același p avem: \small 2^{p-1}\equiv 1(modp) și \small 3^{p-1}\equiv 1(modp). Putem scădea acestea obținând \small 3^{p-1}-2^{p-1}\equiv 0(modp). Dacă p divide ambele expresii, \small 3^{n}-2^{n} și \small 3^{p-1}-2^{p-1} atunci p divide și cel mai mare divizor comun al lor: \small cmmdc(3^{n}-2^{n},3^{p-1}-2^{p-1})\equiv 0(modp). Folosesc un rezultat din matematică:\small cmmdc(a^{p}-b^{p},a^{q}-b^{q})=a^{cmmdc(p,q)}-b^{cmmdc(p,q)}  *  (demonstrația mai jos).  Pentru a=3, b=2, p=n și q=p-1 obțin \small 3^{cmmdc(n,p-1)}-2^{cmmdc(n,p-1)}\equiv 0(modp) (1). Pentru că cmmdc(n,p-1) trebuie să fie mai mic sau egal cu (p-1), iar (p-1) este mai mic decât oricare alt divizor al lui n rezultă că cmmdc(n,p-1)=1. Înlocuind în (1) obțin:\small 3^{1}-2^{1}\equiv 0(modp)\Rightarrow 1\equiv 0(modp), imposibil, și acest lucru implică că presupunerea inițială este greșită.

* Se folosește algoritmul lui Euclid pentru determinarea\small cmmdc(a^{n}-b^{n},a^{m}-b^{n}): 

\small a^{n}-b^{n}=(a^{m}-b^{m})(a^{n-m}b^{0}+a^{-2m}b^{m}+...+a^{r}b^{n-m-r})+b^{m\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor}(a^{r}-b^{r})unde r = n mod m. cmmdc(an-bn,am-bm) devine egal cu cmmdc(am-bm,ar-br) și procedeul continuă la fel (împărțind am-bm=(ar-br)(...)+(..)(ar1-ar1), r1= m mod r) până când se obține arn-1-brn-1=(arn-brn)*(...) și atunci cmmdc(an-bn,am-bm)=arn-brn unde rn a urmat algoritmul lui Euclid pentru numerele n și m, deci este cmmdc(n,m). Partea aceasta nu-mi aparține.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,101 puncte) Oct 24
selectat de zec Oct 25

Ca intodeauna impresionant.Ideea mea vine pe teoria grupurilor si are destule puncte comune dar necesita cateva leme de prezentat.

Se stie ca \mathbb{Z}_p^* impreuna cu inmultirea este grup.

Se numeste ordinul unui element notat cu ord(x)=|<x>| unde prin <x> intelegem multimea generata de x adica {1,x,x^2,...} asta in caz ca multimea este finita si ordinul devine cel mai mic k pentru care x^k=1 si ord(x)=0 daca multimea generata e infinita.

Lema: ordinul unui element dintr-un grup finit divide ordinul grupului(adica numarul de elemente ale grupului).

Aceasta lema e consecinta a teoremei lui Lagrange care spune ca intr-un grup finit G sa zicem de ordin n si H un subgrup atunci cardH |n.Adica ordinul subgrupui divide ordinul grupului ,din pacate demonstratia e ceva mai dificila si nu o prezint.Cum multimea generata de un element este un subgrup lema iese imediat.

Sa revenim la problema ,la fel ca in demonstratia anterioara cazul cand 2 sau 3 divide n iese imediat .Fie p la fel cel mai mic numar prim diferit de 2 sau 3 daca n divide 3^n-2^n asta inseamna ca 3^n\equiv 2^n(p) unde prin (p) inteleg congruenta modulo p.

 Fie k restul impartiri lui n la p-1 ,asta inseamna 3^k\equiv 2^k(p) deoerece stim ca 3^{p-1} si 2^{p-1} dau restul 1 la p .Relatia rtespectiva de congruenta implica 3^k este egal cu 2^k in grupul Zp de unde 3^k(2^{-1})^k=(3*2^{-1})^k=1    unde prin 2 la -1 inteleg inversul lui 2 si deci ordinul acelui element divide k si automat conform lemei si pe p-1 deci k divide cmmdc{n,p-1} deci k=1 si rezulta 3*2^{-1}=1 adica 3=2 contradictie.

0 plusuri 0 minusuri
Salut zec!

Soluția mea ar fi următoarea.

1.

n = p, p număr prim și rescriem fractia sub forma:

Conform micii teoreme a lui Fermat, la numărător, avem o expresie congruenta cu 1 mod p, deci numaratorul nu se divide cu p.

2.

n nonprim.

Scriem 3=2+1, dezvoltam binomul lui Newton, anulam ulterior termenul 2n , iar numaratorul devine:

După ce simplificam cu n și separam 1 ajungem la:

Incepand de la al treilea termen al sumei pana la penultimul, toți termenii sunt numere intregi.

Spre exemplu, daca n nu este divizibil cu 3 (număr prim), fie n-1, fie n-2, este divizibil cu 3.

Pentru n=4, sunt luați in calcul doar primii 3 termeni de mai sus.

Pentru n=5 este identic ca și pentru n=3 fiind număr prim s.a.m.d.

Deci cu excepția lui 1/n toți termenii sunt întregi.

Sper sa nu fi greșit. Am scris presat de timp și nu am analizat detaliat  problema.
a raspuns CiprianM Junior (572 puncte) Oct 21
editat de CiprianM Oct 21
Cazul n prim e ok ,dar la n neprim in general n nu divide combinari de n luate cate k.Deci simplificarea cu n nu functioneaza.

...