Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,305 intrebari

6,472 raspunsuri

15,032 comentarii

2,117 utilizatori

Sumă de pătrate perfecte

2 plusuri 0 minusuri
643 vizualizari

Să se arate că pentru orice număr natural n, 2017n poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte.

a intrebat Gheorghiţa Experimentat (4,101 puncte) Iul 3 in categoria Matematica

Problema admite si o generalizare .Daca un numar a natural se poate scrie ca suma de 2 patrate atunci an se poate scrie ca suma de 2 patrate pentru orice n.Momentan nu prezint solutia ,dar sa remarcam ca 2017 este numar prim de forma 4k+1 si exista o proprietate cunoscuta ,ca aceste numere se pot scrie ca o  suma de 2 patrate. Va prezint si cum se demonstreaza cu ajutorul teoremei lui Minkowski aceasta propietate a numerelor prime de forma 4k+1.http://imgur.com/KMnT40U

2017=442+92=1936+81, adică anul nașterii și vârsta lui Florin Piersic!

2 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri

Putem utiliza principiul inductiei matematice.Verificarea se realizează deoarece 20170=12+02 și 20171=442+92.Pentru demonstratie,consideram P(k) adevarata :"2017k se poate scrie sub forma unei sume de două pătrate perfecte" și arătăm că aceasta implică P(k+1) adevărată.

2017k+1=2017*2017k=(442+92)(a2+b2),cu a,b numere naturale;

2017k+1=(44a)2+(44b)2+(9a)2+(9b)2;

Adunând și scăzând 2*44*9*a*b,obținem în membrul drept suma de pătrate perfecte (44a+9b)2+(44b-9a)2,deci P(k+1) adevărată ceea ce determină P(n) adevărată,oricare ar fi n natural;

Generalizarea amintită mai sus poate urma aceeași abordare inductivă.

a raspuns Andrei Saceleanu Novice (175 puncte) Iul 5
Foarte elegant,felicitari.

Am dorit să pun în evidență două lucruri interesante cu această întrebare:
- teorema lui Fermat privind suma a două pătrate perfecte. Astfel, este suficient să observăm că 2017 este număr prim de forma 4k+1, după cum a remarcat și zec, probabil instantaneu, nemafiind nevoie să găsim și cele două pătrate.
- produsul a două sume de două pătrate perfecte este suma a două pătrate perfecte: (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 (formulă atribuită lui Fibonacci - 1202).

4 plusuri 0 minusuri

eu am facut altfel .

daca n este impar de forma 2k+1 atunci avem

2017^n=2017^{2k+1}=2017*2017^{2k}=(44^2+9^2)2017^{2k}=(44*2017^k)^2+(9*2017^k)^2daca n este par atunci aflam x si y astfel incat

x^2+y^2=2017^2 cu ajutorul solutiei ecuatiei pitagoreice care va fi  functie de m si n astfel incat 

2017=m^2+n^2

x=m^2-n^2     y=2mn

Pentru m=44 si n=9 obtinem o solutie.

Astfel 2017^{2k}=2017^2*2017^{2k-2}=(x^2+y^2)2017^{2k-2}=(2017^{k-1}x)^2+(2017^{k-1}y)^2

a raspuns zec Experimentat (2,022 puncte) Iul 6
editat de zec Iul 8
Aha! Tragem concluzia că orice număr prim de forma 4k+1 este ipotenuza unui triplet pitagoreic. y = 2mn.
Corect y este 2mn corectez acuma.

...