Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
807 vizualizari

Am dat azi întâmplător peste următoarea teoremă, o proprietate interesantă de care nu știam. 

Pentru orice număr prim p > 3, p2 -1 este divizibil cu 24. 

Cum ați demonstra teorema?

Senior (8.1k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Din două numere pare consecutive p-1 și p+1, unul este divizibil cu 2 și celălalt cu 4. Înmulțite sînt divizibile cu 8. (1)
Din 3 numere consecutive p-1, p și p+1, unul este divizibil cu 3. p fiind prim înseamnă că p-1 sau p+1 este divizibil cu 3. (2)  
Din (1) și (2) obținem că expresia p2 - 1 este divizibilă cu 24.

Senior (5.0k puncte)
0 0
Asta e demonstrația mea preferată, din puținele descoperite de când am formulat întrebarea. Asa ca am votat în consecință.
0 0
Intradevar simplu si elegant,foarte frumos.
2 plusuri 0 minusuri

Orice numar prim p>3 este de forma 6k\pm 1 .

Avem astfel p^{2}-1=(p-1)(p+1)=(6k\pm 1-1)(6k\pm 1+1)=6k(6k+2)=12k(3k+1) sau =(6k-2)6k=12(3k-1)kDar k si 3k+1 au paritati diferite la fel si k cu 3k-1 de unde ne rezulta ca unul din ele este par deci in ambele cazuri se obtine multiplu de 24.

Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Mă văd nevoit să vă rog să demonstrați și prima formulă :)

P.S.
Nu mai e nevoie. Am înțeles că acelea două sunt singurele variante posibile, toate celelalte (6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4) având divizori evidenți.
0 0
k și 2k+1 au parități diferite doar pentru k par. Pentru k impar, k și 2k+1 au aceeași paritate. k și k+1 au parități diferite oricare ar fi k.
1 0
De fapt acolo oricum trebuia sa fie 3k in loc de 2k. Gresise zec. Asa ca in final iese bine :-)
1 0
Pfffff damn mersi de corectura.Am sa corectez.
...