Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,202 intrebari

6,362 raspunsuri

14,882 comentarii

2,011 utilizatori

Proprietate legată de pătratele numerelor prime. Demonstrații posibile

0 plusuri 0 minusuri
190 vizualizari

Am dat azi întâmplător peste următoarea teoremă, o proprietate interesantă de care nu știam. 

Pentru orice număr prim p > 3, p2 -1 este divizibil cu 24. 

Cum ați demonstra teorema?

a intrebat goguv Senior (5,909 puncte) Apr 9 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Din două numere pare consecutive p-1 și p+1, unul este divizibil cu 2 și celălalt cu 4. Înmulțite sînt divizibile cu 8. (1)
Din 3 numere consecutive p-1, p și p+1, unul este divizibil cu 3. p fiind prim înseamnă că p-1 sau p+1 este divizibil cu 3. (2)  
Din (1) și (2) obținem că expresia p2 - 1 este divizibilă cu 24.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (3,731 puncte) Apr 12
selectat de goguv Apr 12
Asta e demonstrația mea preferată, din puținele descoperite de când am formulat întrebarea. Asa ca am votat în consecință.
Intradevar simplu si elegant,foarte frumos.
2 plusuri 0 minusuri

Orice numar prim p>3 este de forma 6k\pm 1 .

Avem astfel p^{2}-1=(p-1)(p+1)=(6k\pm 1-1)(6k\pm 1+1)=6k(6k+2)=12k(3k+1) sau =(6k-2)6k=12(3k-1)kDar k si 3k+1 au paritati diferite la fel si k cu 3k-1 de unde ne rezulta ca unul din ele este par deci in ambele cazuri se obtine multiplu de 24.

a raspuns zec Experimentat (1,723 puncte) Apr 9
editat de zec Apr 9
Mă văd nevoit să vă rog să demonstrați și prima formulă :)

P.S.
Nu mai e nevoie. Am înțeles că acelea două sunt singurele variante posibile, toate celelalte (6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4) având divizori evidenți.
k și 2k+1 au parități diferite doar pentru k par. Pentru k impar, k și 2k+1 au aceeași paritate. k și k+1 au parități diferite oricare ar fi k.
De fapt acolo oricum trebuia sa fie 3k in loc de 2k. Gresise zec. Asa ca in final iese bine :-)
Pfffff damn mersi de corectura.Am sa corectez.

...