Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,284 intrebari

6,455 raspunsuri

15,020 comentarii

2,053 utilizatori

Probabilitatea de a forma un triunghi

3 plusuri 0 minusuri
393 vizualizari
Avem la dispoziție o baghetă de lemn de lungime 1 metru. O rupem la întâmplare în două locuri. Care este probabilitatea ca cele 3 segmente rezultate să poată forma un triunghi?

P.S.
De la pasionații de programare se acceptă ca răspuns și o rezolvare computerizată. Cu cod sursă cu tot :)
a intrebat goguv Senior (6,054 puncte) Apr 3 in categoria Matematica
Un triunghi oarecare?
Orice fel de triunghi, da.
Scuze!Scrisesem o prostie de mi-a picat netul.
Ar trebui precizat ce înseamnă că rupem bagheta la întîmplare în două locuri. De exemplu, dacă o rupem mai întîi într-un loc (să zicem cu egală probabilitate de-a lungul baghetei), apoi cum decidem ce și unde rupem a doua oară? Sau poate facem de la început două semne pe baghetă, ambele cu probabilitate uniformă și independente unul de altul, și abia apoi tăiem?
Scuze pentru întârziere. Am avut o zi lungă la serviciu.

Sunt două situații diferite, într-adevăr. Avem, pe de o parte, varianta în care alegem două numere aleatoare între 0 și 1, iar, pe de alta, varianta în care alegem un număr aleatoriu între 0 și 1, rupem bagheta acolo, apoi alegem la întâmplare unul din cele două segmente rezultate, rupându-l și pe acesta într-un punct oarecare de pe întreaga sa lungime.

Bănuiesc că în al doilea caz va rezulta o probabilitate diferită de 1/4.

@AdiJapan.

Care relevanța  diferenței între cele două situații pe care le descrieți? 

În situația în care întrebați despre cum decidem ce și unde rupem a doua oară, mai poate fi vorba de evenimente aleatoare, de vreme cei noi avem de decis ceva?

@goguv.

De ce ar avea evenimentele aleatorii rupem bagheta efecte cu probabilități diferite, în funcție de faptul că ele au loc simultan sau succesiv?

Situația a doua pe care o descrieți e echivalentă cu prima, din moment ce alegem la întâmplare unul din cele două segmente rezultate.

Situația e ca și cum două ghilotine cad aleatoriu în două puncte de pe baghetă. Ce importanță are că ele cad cad aleatoriu simultan sau pe rând?

Ce vă dă bănuiala că al doilea caz duce la o probabilitate diferită de 1/4?

@puiu

Mie asa mi se pare. Dacă dintr-un milion de încercări, în 500000 de cazuri voi alege un punct de pe un segment de, sa zicem, 1/8 din bagheta, iar în alte 500000 de cazuri vom alege un punct de pe un segment de 7/8 din bagheta, nu cred că punctele de pe cele 2 segmente pot fi alese cu șanse echiprobabile. Dvs ce spuneți?

Despre ce alegere vorbiți? Bagheta se rupe în două puncte la întâmplare sau nu? 

Exemplul dumneavoastră descrie o situație foarte improbabilă în care menționați că alegem o poziție sau alta a tăieturilor într-un număr de cazuri.  Evenimentele ca tăietura să fie într-o jumătate sau în cealaltă a baghetei sunt echiprobabile, iar noi nu văd ce avem de ales aici.

Sugerați că probabilitatea se poate distribui neuniform de-a lungul baghetei?  De ce? Pentru că depinde de niște alegeri de-ale noastre? Îmi pare rău dar nu înțeleg.

Cred că gândisem greșit. Iar exprimarea a fost și ea defectuoasă.

Dar insist totuși pe varianta ”etapizată”, în care:

1. rupem bagheta într-un punct ”ales” la întâmplare,
2. ”alegem” apoi din cele două segmente rezultate unul, tot la întâmplare...,
3. ...pentru ca apoi, pe lungimea celui ”ales” la pasul anterior, să mai facem o segmentare, tot într-un punct ”ales” aleatoriu.

Simplul fapt că, dacă la pasul 2 (”alegerea” la întâmplare a unuia din primele două segmente rezultate la pasul 1), ”alegem” segmentul mai scurt (eveniment de probabilitate 50%), atunci suntem din start într-o situație care nu poate genera laturi valide de triunghi (vom avea un segment - sumă a două posibile laturi - care va fi fragmentat în două la pasul 3, dar care este din start mai scurt decât celălalt - a treia latură posibilă), nu schimbă complet datele problemei?

P.S.:
Folosirea verbului ”a alege” e ușor forțată în acest context. Interpretați-o drept ”alegerea” (folosind o funcție de randomizare) pe care o face un program de computer, la fiecare din cei, să zicem, 1 milion de pași ai unui ciclu repetitiv, fiecare constând, la rându-i, din cei 3 pași de mai sus.

Cred că acum înțeleg ce vreți să spuneți prin alegere.

Hai să numim punctele de tăietură tși t2. Le-am notat cu litere mici pentru că fiecare reprezintă și poziția aleatoare pe care o poate avea pe un interval (0, 1). Și hai să spunem nu că le alegem, ci că ele pică la fiecare experiment pe o poziție aleatoare în intervalul considerat.

a. În situația de la punctul 2., dacă t2 pică pe segmentul mai scurt nu putem face un triunghi. 

Dacă pică pe segmentul mai lung, avem:

b. nu putem construi triunghiul pentru că t2 e la mai mult de 1/2 distanță de capătul nerupt al baghetei, sau

c. nu putem construi triunghiul pentru că t2 e la mai mult de 1/2 distanță de t1, sau

d. putem construi dreptunghiul, pentru că t2 se află la distanța corectă și față de t1 și față de capătul nerupt al baghetei.

L-am fixat, deci, deci, pe t1 și l-am plimbat pe t2 pe tot intervalul, identificând 4 tipuri de situație dintre care 3 nefavorabile.

Dar t1 și tsunt interschimbabile, adică faptul că t2  a picat pe segmentul mai scurt este echivalent cu a spune că t1 a picat pe segmentul mai lung și ne aflăm tot într-una din cele 4 situații descrise mai sus.  Cum spuneți Dvs., simplul fapt că la pasul 2. alegem segmentul mai scurt (în limbajul meu, t2 pică pe segmentul mai scurt) nu schimbă complet datele problemei, de fapt nu le schimbă deloc. El e echivalent cu a spune că t1 pică pe segmentul mai lung și ne aflăm tot în una din cele 4 situații descrise.

Oricum am tăia, una din tăieturi va fi pe segmentul mai scurt și alta pe segmentul mai lung.

Etapizarea la care vă gândiți e neesențială, ea complică dacă nu chiar încurcă lucrurile.

În legătură cu faptul că cele 4 situații sunt echiprobabile, am arătat acest lucru în răspunsul la comentariul Gheorghiței.

Nu sunt de acord. Din punctul meu de vedere, judecata pe care o faceti la b, c si d acopera in acest caz jumatate din cazurile posibile. Restul de jumatate fiind cazurile cand te pe batul mai scurt, punctul a. Deci mie imi rezulta 1/6. Bat scurt vs bat lung, punctul meu 2, imparte practic cazurile posibile din problema pe jumatate. Tot ce pot face e sa il rog pe AdiJapan sa incropeasca un programel si sa ne spuna rezultatul... :-)

Un mic program similar cu al lui AdiJapan dar făcut în JavaScript mi-a dat o probabilitate cuprinsă între 0.192 și  0.193 (aproape de 1/6, dar nu foarte aproape) pentru cazul în care rupem mai întâi bățul într-un punct, alegem aleator o parte și o mai rupem o dată. Dacă după prima rupere alegem partea mai lungă, probabilitatea se dublează la aproximativ 0.385.

Numărul cazurilor favorabile e proporțional cu lungimea segmentului pe care, dacă pică t2, se poate construi triunghiul, în condițiile în care, ca să etapizez evenimentele, t1 a fost fixat în prealabil.

Notând cu l distanța dintre t1 și capătul cel mai apropiat, vedem că, plimbându-l pe t2 de la acel capăt spre mijlocul baghetei, posibilitatea de construire a triunghiului e zero atâta timp cât punctele se află în aceeași jumătate.

Imediat ce t2 trece de mijloc, construcția triunghiului devine posibilă, ea rămînând posibilă până în punctul în care t2 s-a depărtat de mijloc cu distanța l, când distanța dintre tși t2 ajunge egală cu 1/2.

Continuând din acest punct până la capăt, posibilitatea construirii triunghiului devine iarăși nulă.

Prin urmare, în cazul unui experiment, numărul cazurilor favorabile este proporțional cu distanța l. Dar valorile lui l sunt în intervalul (0, 1/2), iar la un număr mare de experimente, numărul cazurilor favorabile e proporțional cu media aritmetică a valorilor pe care le ia l, medie egală, pntru că avem o distribuție uniformă a pozițiilor lui t1, cu media capetelor intervalului,  adică (0 + 1/2)/2 = 1/4. 

Uite că, etapizând (deși continui să cred că e irelevant), tot 1/4 mi-a ieșit :)

M-am mai gândit. Renunț la rezultatul dat mai sus, 1/6.

Practic, în momentul în care etapizăm așa cum am spus mai spus, facem următorul lucru: alegem la întâmplare un segment de lungime x<1 pe bagheta de lungime 1, pentru ca apoi să alegem la întâmplare un segment de lungime y<1-x pe segmentul rămas, de lungime 1-x. Laturile prezumtivului triunghi vor avea lungimile x, y și 1-x-y. Problema se reduce la a formaliza matematic acest scenariu, care nu este identic cu cel în care alegem ambele puncte de la bun început oriunde pe bagheta de lungime 1. Poate reușește cineva să abordeze analitic problema. Formula probabil că ne va duce la un rezultat apropiat de acel 0,192-0,193 obținut de Gheorghița.

Puneți bagheta de-al lungul axei Ox. Notați coordonata primei tăieturi de care dați cu x. Acest segment are, desigur, lungimea x.

Notați coordonata următoarei tăieturi cu y. Al doilea segment va avea lungimea y-x. Față de propunerea Dvs. se schimbă doar notația. Urmează că lungimea ultimului segment, egală cu 1-x-y în notația dumneavoastră, devine 1-y în noua notație.

Mai departe puneți condițiile de realizare a triunghiului.

Observați că, în notații diferite, aceasta a fost formularea ipotezei în cele 3 răspunsuri pe care le-ați primit, ea corespunzând cerinței de tăiere aleatoare, răspunsuri care conduc la probabilitatea unică 1/4.

Astfel, cu mica modificare din punct de vedere a notațiilor, a scenariului pe care îl considerați, puteți continua cu demonstrația lui zec, pentru că astea sunt notațiile sale.

E valabil și pentru celelalte două răspunsuri. Case closed (pentru mine) :)

Domnule Puiu, scuze pentru insistență și stres :)

Ce nu înțeleg eu e cum de acceptați ideea că x și y (în notația dvs.) sunt distribuite uniform și independent între 0 și 1 în ambele cazuri, atât cel al poziționării simultane, cât și cel etapizat.

Din punctul meu de vedere, atunci când îl alegem pe x primul, x fiind deci numărul mai mic din cele două, el va fi în medie mai mare decât ar fi, în medie, cel mai mic număr din cele două, atunci când acestea sunt alese aleatoriu, dar simultan.

De asemenea, y, numărul mai mare din scenariul dvs., restrâns fiind la intervalul de valori (x,1), va duce la o valoare y-x în intervalul (0,1-x), cu o medie mai mică în cazul etapizat decât în cazul alegerii simultane a punctelor.

Vorbim deci de niște distribuții ale lui x și y complet diferite în cele două scenarii. Nu văd cum s-ar putea ajunge la același rezultat în ambele cazuri...

Domnule goguv, pentru mine nu există al doilea scenariu. Fie că două ghilotine taie simultan sau succesiv bagheta (ceea ce e nerelevant), avem un scenariu.

Să zicem că prima ghilotină se plimbă pe deasupra baghetei și la un moment dat cade pe aceasta secționând-o într-un punct P. Evenimentele căderii sunt echiprobabile pentru oricare punct din lungul baghetei. Aleator înseamnă că ghilotina nu manifestă o înclinație aparte spre un punct sau o zonă a baghetei.

Vine apoi a doua ghilotină (deci nu simultan), la fel de oarbă, care cade, ca și prima, cu probabilitate egală, pe orice punct Q d-a lungul baghetei.

Dacă a căzut în stânga lui P, se întâmplă faptul trivial că Q e punctul din stânga iar P e punctul din dreapta. Dacă se întâmplă invers, la fel de banal și irelevant, P e punctul din stînga etc.

Dacă se întîmplă ca P și Q să coincidă mai tragem odată, pentru că ne trebuie două ruperi.

Asta înseamnă ceea ce Dvs. spuneți în enunț sub forma o rupem la întâmplare în două locuri. 

Mai departe, ce ne rămâne e să stabilim dacă pozițiile relative ale lui P și Q determină segmente cu care se poate construi un triunghi, mai exact, cu ce probabilitate se poate realiza acest lucru.

În comentariul de ieri am și arătat că această probabilitate este egală cu media distanțelor unui punct, din stânga sau din dreapta, față de capătul cel mai apropiat. Dar nu mi-ați răspuns nimic, nici de bine nici de rău :)

M-aș mulțumi măcar dacă am contribuit cât de puțin la a vă face să renunțați la acel 1/6 :)

Reformulez problema astfel:

Avem o baghetă dreaptă de lungime 1. Scenariu:

1. Rupem bagheta poziționată orizontal într-un punct ”random”.
2. Pe segmentul din dreapta, rezultat în urma ruperii de la punctul 1, rupem iar, intr-un al doilea punct ”random”.

Care este probabilitatea ca aceste 3 segmente rezultate sa poată forma un triunghi?

Se schimbă cu ceva răspunsul dvs.?

În acest caz întrebarea e alta și toate râspunsurile, deci și al meu, se schimbă.
Asta înseamnă că nu am reușit să mă fac înțeles în ultimele mele multe mesaje. Eu despre asta am tot vorbit când menționam scenariul etapizat. Faptul că am specificat acum că alegem segmentul din dreapta a fost doar ca să ieșim cumva din blocajul la care ajunsesem. După părerea mea, e totuna dacă spuneam că alegem segmentul din stânga, și e totuna cu a alege la întâmplare unul din cele două segmente rezultate la pasul 1.
A alege intenționat segmentul din dreapta pentru a doua tăietură, e echivalent cu a alege intenționat segmentul din stânga, dar nu e echivalent cu a alege aleator oricare din segmente.

În primele două cazuri reducem numărul de cazuri posibile, pentru că facem a doua tăietură pe o baghetă scurtatâ.

În cazul 3 facem tăietura a doua oriunde pe toată lungimea baghetei deci nu reducem numărul de cazuri posibile.

Formularea inițială a problemei se referea la cazul 3 și văd că nu doar eu am înțeles așa.
Desigur, inițial am întrebat ceea ce spuneți. Adica despre varianta alegerii independente a doua numere aleatorii intre 0 si 1. Si răspunsurile au fost superbe.

Dar comentariul inițial al lui AdiJapan m-a făcut să mă gândesc la varianta asta. La care încă mai caut răspuns.

P.S.
Și în cazul 3 tăiem tot pe o bagheta scurtata. Dar să lăsăm asta. Poate găsim un răspuns la variantele de comun acord acceptate ca diferite, cazurile 1 și 2.
În cazul 3 tăiem o baghetă scurtată, dar dintr-n spațiu disponibil de 1m.

În primele două spațiul de alegere e mai mic, cazurile posibile sunt mai puține, zarul are mai puține fețe, probabilitățile se modifică iar problema se schimbă.
O rog pe Gheorghita să publice codul sursa cu care a ajuns la valoarea respectiva, sa vedem cum a codificat ideea de alegere aleatoare a unui segment.

Practic alegem mereu un x aleator si apoi din ce ramane. De ce ar conta daca iau acel x de la stanga la dreapta ori invers? Nu e distributia uniforma si simetrica fata de centrul baghetei?
<script>
var i=1,range = 1000000,counter=0,a,b,c;
while (i <= range){
    a = Math.random();
    if (a < 1/2) {
    b = (1-a)*Math.random();
    c = 1 - a - b;
    if (a<b+c  && b<a+c && c<a+b){counter++;}
    }
    i++;
}
document.write("Probabilitate: "+counter+"/"+range+" = "+counter/range);
</script>

Funcția random() generează un număr aleator între 0 și 1, deci (1-a)*random() dă un număr aleator între 0 și 1-a. Codul se poate testa într-un browser.
Dacă ne raportăm la discuția mea anterioară cu Puiu, codul de mai sus nu face selecție aleatoare la fiecare iterație între primele două segmente rezultate, care sunt a, respectiv (1-a).

Scriptul dvs. e echivalent cu urmatorul:

<script>
var i=1,range = 1000000,counter=0,a,b,c;
while (i <= range){
    a = Math.random();
    b = (1-a)*Math.random();
    c = 1 - a - b;
    if (a<b+c  && b<a+c && c<a+b){counter++;}
    i++;
}
document.write("Probabilitate: "+counter+"/"+range+" = "+counter/range);
</script>
 

Asta este practic codul pentru situatia in care alegem mereu acelasi segment dupa prima rupere (fie cel din dreapta, fie cel din stanga, treaba e simetrica).

Ar trebui sa aplicam cumva o alegere random intre a si (1-a), asta inainte de a intra pe 2 sectiuni de cod diferite, in care lungimile celor 3 segmente pentru care se face evaluarea triplei inegalitati sunt fie a, b si c, fie (1-a), b si c.

Cand ati obtinut valoarea dubla ce cod sursa ati rulat?
Este echivalent dar prin folosirea unui if scap de calcule inutile. Nu văd de ce trebuie să alegem între a și 1-a pentru că nu știm care este mai mare, nici nu ne interesează.

Pentru valoarea dublă se schimbă doar a = (1/2)*Math.random().
Eu vreau să aleg la întâmplare la fiecare iterație segmentul pe care îl rup în alte două, între a și (1-a), neinteresându-mă valoarea lui a, pentru a vedea dacă ajung la aceeași valoare finală a probabilității. Am făcut astfel:

<script>
var i=1,range = 1000000,counter=0,a,b,c,segment;
while (i <= range){
    a = Math.random();
    segment = (Math.random() < 0.5) ? a : (1-a);
    if (segment == a) {
    b = (1-a)*Math.random();
    c = 1 - a - b;
    if (a<b+c  && b<a+c && c<a+b){counter++;}
    }
    else {
    b = a*Math.random();
    c = a - b;
    if ((1-a)<b+c  && b<(1-a+c) && c<(1-a+b)){counter++;}
    }
    i++;
}
document.write("Probabilitate: "+counter+"/"+range+" = "+counter/range);
</script>

Probabilitatea se menține în jur de 0.193
V-ați făcut pofta cu "randomizarea" randomizării și ați ajuns tot la 0.193. Hmmm...

Mai scurt ar fi scriptul cu a = (1/2)*random(), ne dă 0.386 și apoi P = (1/2)*0 + (1/2)*0.386 = 0.193.
Daca mergem pe alta idee...in sistemul de coordonate xOy luam OA pe axa Ox egal cu 1, lungimea baghetei. Segmentele taiate aleator le notam cu a, b, c. In prima faza ar trebui sa avem a<1, b<1, a+b<1 si putem considera ca , in xOy ,a si b reprezinta coordonatele punctelor aflate in interiorul triunghiului AOB, B apartine lui Oy , OB=1. Pentru a putea forma un triunghi trebuie ca a<1/2, b<1/2 si a+b>1/2. Ca sa fie indeplinite si aceste conditii a si b ar trebui sa reprezinte coordonatele punctelor aflate in exteriorul triunghiului DOE, unde OD=OA/2=1/2 si E=OB/2=1/2, dar in interiorul triunghiului DEF, unde F este intersectia dintre paralela  din E la OA si perpendiculara in D pe OA. Cum aria DEF este 1/8 si aria  AOB este 1/2 ar iesi o probabilitate de 1/4 ca a , b si c sa poata forma un triunghi. Acum, daca programul e bun inseamna ca nu sunt suficiente conditiile puse aici.....poate le imbunatateste cineva.

Pe mine ideea alegerii la întâmplare a unuia din segmentele rezultate după prima tăiere nu mă mulțumește. Asta pentru că leagă a doua tăiere de prima, prin faptul că descrie poziția celei de-a doua tăieri printr-o expresie ce conține poziția primei tăieri, ceea ce mă duce spre probabilități condiționate.

Dacă m-aș pricepe la programare, eu i-aș da calculatorului următoarele instrucțiuni:

1. Alege două numere la întâmplare, tși t2, în intervalul (0, 1)

2. Notează min(t1. t2)=a, I t1-t2 I=b (t1-t2 în modul) și 1-t1-t2=c

3. Verifică dacă a<b+c și b<a+c și c<a+b

4. Dacă cele 3 inegalități se respectă, rezultă DA. Dacă oricare din inegalități nu se respectă rezultă NU.

5. Fă operația asta de un milion de ori, pentru perechi diferite (t1, t2)

5. Calculează P = (numărul de DA-uri)/un milion

Dacă aceste operații se pot implementa, aș avea garanția că tăieturile sunt absolut independente și aș fi recunoscător Gheorghței sau lui goguv dacă ar face și rula un program în acest mod.

Cum ziceam, neavând habar de programare, dacă am vorbit aiurea, ignorați acest comentariu :)

Exact acest lucru l-a făcut AdiJapan în răspunsul său.
Aha! Mulțumesc.

Atunci devine foarte interesant de unde apare diferența. Pentru că dacă nu e consecința vreunei greșeli, problema poate fi un caz școală despre cum pot fi manipulate statisticile.
Asta e tot ce îmi doresc și eu. Să explice cineva matematic, nu informatic, în stil Monte Carlo, diferența. Doar că mie mi se pare evidentă diferența de scenariu, si deci de probabilitate, pe când dvs. nu.

4 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri

Iată un răspuns preliminar, obținut cu un progrămel..., pînă vine cineva cu o demonstrație riguroasă. (Nu sînt pasionat de programare, ci doar o folosesc de nevoie.)

Mai întîi pornesc de la ideea că cele două tăieturi se fac în poziții aleatoare, ambele cu probabilitete distribuită uniform de-a lungul baghetei și independente una de cealaltă.

Fac un progrămel care generează două șiruri de numere aleatoare distribuite uniform în intervalul (0, 1) și independente una de alta, care reprezintă pozițiile x1 și x2 ale tăieturilor. Perechile de valori {x1, x2} nu sînt neapărat în ordine crescătoare. Pentru fiecare pereche calculez lungimile segmentelor, tripletul {a, b, c}.

Pentru ca din lungimile {a, b, c} să se poată construi un triunghi trebuie ca oricare din cele trei numere să fie mai mic decît suma celorlalte și mai mare decît diferența lor luată în valoare absolută. În total trebuie făcute 6 verificări la fiecare triplet.

Fac verificarea asta la toate tripletele și număr cîte dintre ele sînt bune, adică respectă condițiile de formare a unui triunghi. Apoi calculez proporția de triplete bune față de toate tripletele. Dacă numărul de triplete generate este foarte mare, această proporție va fi foarte aproape de probabilitatea cerută de problemă.

Iar răspunsul este că probabilitatea e 1/4. Numai un sfert din toate combinațiile posibile de tăieturi duc la segmente care pot construi un triunghi.

Iată și progrămelul:

dimn=1000000;
%Taieturi:
x1=rand(dimn,1);
x2=rand(dimn,1);
%Lungimile segmentelor:
a=min(x1,x2);
b=max(x1,x2)-min(x1,x2);
c=1-max(x1,x2);
%Testez daca pot forma triunghi:
test=(a<b+c) & (a>abs(b-c)) & (b<a+c) & (b>abs(a-c)) & (c<a+b) & (c>abs(a-b));
fprintf('Numar: %.0f;  Proportie: %.3f\n',dimn,sum(test)/dimn);


Pentru 1 milion de încercări programul rulează pe laptopul meu în circa 0,2 s, iar fluctuația proporției calculate este de circa 0,001 față de media de 0,250.

a raspuns AdiJapan Senior (11,755 puncte) Apr 4
Dar de ce 6 conditii de test si nu doar 3?

Păi m-am gîndit că sînt trei laturi și la fiecare trebuie să verific două condiții. Dar aveți dreptate, e suficient să verific pentru o singură latură, deci numai două condiții (nu trei). Am rescris programul și iese aceeași proporție dacă linia de verificare o reduc la:

test=(a<b+c) & (a>abs(b-c));

Cînd am făcut programul m-a gîndit că s-ar putea să fac prea multe verificări, care poate nu sînt toate independente. Dar mi-a fost mai ușor să le fac decît să mă gîndesc dacă chiar e nevoie de toate.

Mulțumesc pentru observație.

Deci care sunt condițiile, până la urmă? Eu știam că e nevoie ca, simultan, a<b+c, b<a+c și c<a+b. Nu știam și de treaba cu diferența în valoare absolută.
2 plusuri 0 minusuri

Din inegalitatea triunghiului rezultă că nu se poate construi un triunghi dacă unul din segmente e mai mare sau egal cu 1/2. 

Notăm cu A evenimentul de a putea construi un triunghi, iar probabilitatea ca să se întâmple, cu P(A).

Notând segmentele cu a, b și c, fiecare putând avea lungimi în intervalul (0, 1) cu o distribuție uniformă de probabilitate, avem 3 cazuri nefavorabile: a>=1/2 sau b>=1/2 sau c>=1/2. Orice altă combinație de cazuri nefavorabile se reduce la una din acestea 3, adică e suficient ca una din ele să se întâmple pentru a avea nonA.

Mai rămâne cazul favorabil, în care a<1/2 și b<1/2 și c<1/2.

Avem deci 3 cazuri nefavorabile dintr-un total de 4 cazuri posibile, de unde rezultă că P(nonA)=3/4, de unde P(A)=1-3/4=1/4

a raspuns Puiu Senior (6,087 puncte) Apr 4
Simplu și frumos. Numai că trebuie neapărat ca toate cele 4 cazuri posibile să fie echiprobabile. Cele 3 cazuri nefavorabile au aceeași probabilitate, dar este aceasta egală și cu cea a cazului favorabil?
E corectă întrebarea.

Toate combinațiile posibile sunt următoarele:

1. a>1/2 și b<1/2 și c<1/2

2. a<1/2 și b>1/2 și c<1/2

3. a<1/2 și b<1/2 și c>1/2

4. a<1/2 și b<1/2 și c<1/2

Combinația 4. este echiprobabilă cu oricare din primele 3. De exemplu, față de numărul 3., evenimentul c>1/2 a fost înlocuit de evenimentul echiprobabil c<1/2. Cred că se poate arăta și cu formule, dar mie mi s-a părut evident, cred că din considerente de simetrie.
3 plusuri 0 minusuri
Problema imi este cunoscuta totusi ideea corecta de rezolvare are la baza teoria masuri.Aceasta teorie sta la baza teoriei probabilitatilor.

 Daca consideram 2 taieturi arbitrare notate cu M si N pe un segment AB sa notam cu x lungimea lui AM si y =AN.Fara a restrange generalitatea putem presupune taierile in ordinea A-M-N-B .Valorile x si y sunt in intervalul (0;1) deci perechile (x;y) apartin (0;1)x(0;1) care reprezinta un patrat de latura 1 cu arie 1 astea fiind valorile posibile.

Conditiile ca segmentele AM,MN si NB sa formeze un triunghi ne implica cele 3 situatii AM<MN+NB ,MN<AM+NB si NB<AM+MN

Avem AM=x MN=y-x si NB=1-y inlocuind obtinem conditiile pentru x si y:  x<1/2  ,y-x<1/2 si y>1/2 acest sistem de inecuatii se rezolva geometric ca multimea punctelor date de intersectiile celor 3 semiplane.

Cum putem avea si ordinea A-N-M-B obtinem in acest caz alte 3 conditii

mai exact y<1/2,x-y<1/2 si x>1/2 avand o alta multime favorabila de perechi (x,y) zonele delimitate determina 2 triunghiuri in interiorul patratului Daca consideram un patrat cu centrul in O si mijloacele sale cele 2 triunghiuri sunt formate de mijloace si centrul O .Multimea favorabila reprezinta aria celor 2 triunghiuri  pe aria patratului  adica (1/8+1/8)/1=1/4.

Imi pare rau ca nu reusesc sa realizez un desen dar puneti pe geogebra cele 3 inecuatii si o sa remarcati zona de intersectie a celor 3 semiplane.
a raspuns zec Experimentat (1,961 puncte) Apr 4
1 plus 0 minusuri
Am găsit, în sfârșit, un articol care încearcă să facă lumină în cam toate cazurile dezbătute de noi aici. Nu am înțeles cum se ajunge la valoarea (ln2 -1/2), care, de altfel, este tocmai valoarea obținută prin rularea programului Gheorghiței:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml
a raspuns goguv Senior (6,054 puncte) Apr 8

...