Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,305 intrebari

6,472 raspunsuri

15,032 comentarii

2,117 utilizatori

Probabilitatea de a forma un triunghi

3 plusuri 0 minusuri
412 vizualizari
Avem la dispoziție o baghetă de lemn de lungime 1 metru. O rupem la întâmplare în două locuri. Care este probabilitatea ca cele 3 segmente rezultate să poată forma un triunghi?

P.S.
De la pasionații de programare se acceptă ca răspuns și o rezolvare computerizată. Cu cod sursă cu tot :)
a intrebat goguv Senior (6,124 puncte) Apr 3 in categoria Matematica
Daca mergem pe alta idee...in sistemul de coordonate xOy luam OA pe axa Ox egal cu 1, lungimea baghetei. Segmentele taiate aleator le notam cu a, b, c. In prima faza ar trebui sa avem a<1, b<1, a+b<1 si putem considera ca , in xOy ,a si b reprezinta coordonatele punctelor aflate in interiorul triunghiului AOB, B apartine lui Oy , OB=1. Pentru a putea forma un triunghi trebuie ca a<1/2, b<1/2 si a+b>1/2. Ca sa fie indeplinite si aceste conditii a si b ar trebui sa reprezinte coordonatele punctelor aflate in exteriorul triunghiului DOE, unde OD=OA/2=1/2 si E=OB/2=1/2, dar in interiorul triunghiului DEF, unde F este intersectia dintre paralela  din E la OA si perpendiculara in D pe OA. Cum aria DEF este 1/8 si aria  AOB este 1/2 ar iesi o probabilitate de 1/4 ca a , b si c sa poata forma un triunghi. Acum, daca programul e bun inseamna ca nu sunt suficiente conditiile puse aici.....poate le imbunatateste cineva.

Pe mine ideea alegerii la întâmplare a unuia din segmentele rezultate după prima tăiere nu mă mulțumește. Asta pentru că leagă a doua tăiere de prima, prin faptul că descrie poziția celei de-a doua tăieri printr-o expresie ce conține poziția primei tăieri, ceea ce mă duce spre probabilități condiționate.

Dacă m-aș pricepe la programare, eu i-aș da calculatorului următoarele instrucțiuni:

1. Alege două numere la întâmplare, tși t2, în intervalul (0, 1)

2. Notează min(t1. t2)=a, I t1-t2 I=b (t1-t2 în modul) și 1-t1-t2=c

3. Verifică dacă a<b+c și b<a+c și c<a+b

4. Dacă cele 3 inegalități se respectă, rezultă DA. Dacă oricare din inegalități nu se respectă rezultă NU.

5. Fă operația asta de un milion de ori, pentru perechi diferite (t1, t2)

5. Calculează P = (numărul de DA-uri)/un milion

Dacă aceste operații se pot implementa, aș avea garanția că tăieturile sunt absolut independente și aș fi recunoscător Gheorghței sau lui goguv dacă ar face și rula un program în acest mod.

Cum ziceam, neavând habar de programare, dacă am vorbit aiurea, ignorați acest comentariu :)

Exact acest lucru l-a făcut AdiJapan în răspunsul său.
Aha! Mulțumesc.

Atunci devine foarte interesant de unde apare diferența. Pentru că dacă nu e consecința vreunei greșeli, problema poate fi un caz școală despre cum pot fi manipulate statisticile.
Asta e tot ce îmi doresc și eu. Să explice cineva matematic, nu informatic, în stil Monte Carlo, diferența. Doar că mie mi se pare evidentă diferența de scenariu, si deci de probabilitate, pe când dvs. nu.

4 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri

Iată un răspuns preliminar, obținut cu un progrămel..., pînă vine cineva cu o demonstrație riguroasă. (Nu sînt pasionat de programare, ci doar o folosesc de nevoie.)

Mai întîi pornesc de la ideea că cele două tăieturi se fac în poziții aleatoare, ambele cu probabilitete distribuită uniform de-a lungul baghetei și independente una de cealaltă.

Fac un progrămel care generează două șiruri de numere aleatoare distribuite uniform în intervalul (0, 1) și independente una de alta, care reprezintă pozițiile x1 și x2 ale tăieturilor. Perechile de valori {x1, x2} nu sînt neapărat în ordine crescătoare. Pentru fiecare pereche calculez lungimile segmentelor, tripletul {a, b, c}.

Pentru ca din lungimile {a, b, c} să se poată construi un triunghi trebuie ca oricare din cele trei numere să fie mai mic decît suma celorlalte și mai mare decît diferența lor luată în valoare absolută. În total trebuie făcute 6 verificări la fiecare triplet.

Fac verificarea asta la toate tripletele și număr cîte dintre ele sînt bune, adică respectă condițiile de formare a unui triunghi. Apoi calculez proporția de triplete bune față de toate tripletele. Dacă numărul de triplete generate este foarte mare, această proporție va fi foarte aproape de probabilitatea cerută de problemă.

Iar răspunsul este că probabilitatea e 1/4. Numai un sfert din toate combinațiile posibile de tăieturi duc la segmente care pot construi un triunghi.

Iată și progrămelul:

dimn=1000000;
%Taieturi:
x1=rand(dimn,1);
x2=rand(dimn,1);
%Lungimile segmentelor:
a=min(x1,x2);
b=max(x1,x2)-min(x1,x2);
c=1-max(x1,x2);
%Testez daca pot forma triunghi:
test=(a<b+c) & (a>abs(b-c)) & (b<a+c) & (b>abs(a-c)) & (c<a+b) & (c>abs(a-b));
fprintf('Numar: %.0f;  Proportie: %.3f\n',dimn,sum(test)/dimn);


Pentru 1 milion de încercări programul rulează pe laptopul meu în circa 0,2 s, iar fluctuația proporției calculate este de circa 0,001 față de media de 0,250.

a raspuns AdiJapan Senior (11,779 puncte) Apr 4
Dar de ce 6 conditii de test si nu doar 3?

Păi m-am gîndit că sînt trei laturi și la fiecare trebuie să verific două condiții. Dar aveți dreptate, e suficient să verific pentru o singură latură, deci numai două condiții (nu trei). Am rescris programul și iese aceeași proporție dacă linia de verificare o reduc la:

test=(a<b+c) & (a>abs(b-c));

Cînd am făcut programul m-a gîndit că s-ar putea să fac prea multe verificări, care poate nu sînt toate independente. Dar mi-a fost mai ușor să le fac decît să mă gîndesc dacă chiar e nevoie de toate.

Mulțumesc pentru observație.

Deci care sunt condițiile, până la urmă? Eu știam că e nevoie ca, simultan, a<b+c, b<a+c și c<a+b. Nu știam și de treaba cu diferența în valoare absolută.
2 plusuri 0 minusuri

Din inegalitatea triunghiului rezultă că nu se poate construi un triunghi dacă unul din segmente e mai mare sau egal cu 1/2. 

Notăm cu A evenimentul de a putea construi un triunghi, iar probabilitatea ca să se întâmple, cu P(A).

Notând segmentele cu a, b și c, fiecare putând avea lungimi în intervalul (0, 1) cu o distribuție uniformă de probabilitate, avem 3 cazuri nefavorabile: a>=1/2 sau b>=1/2 sau c>=1/2. Orice altă combinație de cazuri nefavorabile se reduce la una din acestea 3, adică e suficient ca una din ele să se întâmple pentru a avea nonA.

Mai rămâne cazul favorabil, în care a<1/2 și b<1/2 și c<1/2.

Avem deci 3 cazuri nefavorabile dintr-un total de 4 cazuri posibile, de unde rezultă că P(nonA)=3/4, de unde P(A)=1-3/4=1/4

a raspuns Puiu Senior (6,087 puncte) Apr 4
Simplu și frumos. Numai că trebuie neapărat ca toate cele 4 cazuri posibile să fie echiprobabile. Cele 3 cazuri nefavorabile au aceeași probabilitate, dar este aceasta egală și cu cea a cazului favorabil?
E corectă întrebarea.

Toate combinațiile posibile sunt următoarele:

1. a>1/2 și b<1/2 și c<1/2

2. a<1/2 și b>1/2 și c<1/2

3. a<1/2 și b<1/2 și c>1/2

4. a<1/2 și b<1/2 și c<1/2

Combinația 4. este echiprobabilă cu oricare din primele 3. De exemplu, față de numărul 3., evenimentul c>1/2 a fost înlocuit de evenimentul echiprobabil c<1/2. Cred că se poate arăta și cu formule, dar mie mi s-a părut evident, cred că din considerente de simetrie.
3 plusuri 0 minusuri
Problema imi este cunoscuta totusi ideea corecta de rezolvare are la baza teoria masuri.Aceasta teorie sta la baza teoriei probabilitatilor.

 Daca consideram 2 taieturi arbitrare notate cu M si N pe un segment AB sa notam cu x lungimea lui AM si y =AN.Fara a restrange generalitatea putem presupune taierile in ordinea A-M-N-B .Valorile x si y sunt in intervalul (0;1) deci perechile (x;y) apartin (0;1)x(0;1) care reprezinta un patrat de latura 1 cu arie 1 astea fiind valorile posibile.

Conditiile ca segmentele AM,MN si NB sa formeze un triunghi ne implica cele 3 situatii AM<MN+NB ,MN<AM+NB si NB<AM+MN

Avem AM=x MN=y-x si NB=1-y inlocuind obtinem conditiile pentru x si y:  x<1/2  ,y-x<1/2 si y>1/2 acest sistem de inecuatii se rezolva geometric ca multimea punctelor date de intersectiile celor 3 semiplane.

Cum putem avea si ordinea A-N-M-B obtinem in acest caz alte 3 conditii

mai exact y<1/2,x-y<1/2 si x>1/2 avand o alta multime favorabila de perechi (x,y) zonele delimitate determina 2 triunghiuri in interiorul patratului Daca consideram un patrat cu centrul in O si mijloacele sale cele 2 triunghiuri sunt formate de mijloace si centrul O .Multimea favorabila reprezinta aria celor 2 triunghiuri  pe aria patratului  adica (1/8+1/8)/1=1/4.

Imi pare rau ca nu reusesc sa realizez un desen dar puneti pe geogebra cele 3 inecuatii si o sa remarcati zona de intersectie a celor 3 semiplane.
a raspuns zec Experimentat (2,022 puncte) Apr 4
1 plus 0 minusuri
Am găsit, în sfârșit, un articol care încearcă să facă lumină în cam toate cazurile dezbătute de noi aici. Nu am înțeles cum se ajunge la valoarea (ln2 -1/2), care, de altfel, este tocmai valoarea obținută prin rularea programului Gheorghiței:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml
a raspuns goguv Senior (6,124 puncte) Apr 8

...