Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
1.1k vizualizari
O comună din România are un islaz circular de rază R, delimitat printr-un gard exterior. Ion aduce într-o dimineață un singur cal pe islaz, și îl leagă de gardul exterior, lăsându-l să pască. Primește instrucțiuni clare că nu are voie să lase calul să pască pe mai mult de jumătate din suprafața islazului.

Care e lungimea maximă pe care o poate avea sfoara cu care Ion își leagă calul de gard?
Senior (8.1k puncte) in categoria Matematica
0 0

Am făcut și o imagine, poate ajută pe cineva. 
Centrul izlazului e in A. 
Calul este legat de gard in P. 
In geogebra R si L sunt reglabile.
Faceți abstracție de valorile din imagine, 4 și 5.
Sunt alese ”ochiometric” de mine.
R este Rizlaz, iar L este Rpripon:

0 0

Observații preliminare:

Condiția este ca aria suprafeței care reprezintă intersecția celor două cercuri din imaginea de mai sus să fie egală cu jumătate din aria izlazului, deci a cercului de rază R.

Scriem aria respectivă ca suma ariilor a două sectoare de cerc, din care scădem aria patrulaterului ABPC:
 

S = \pi R^2 (2\beta /360) + \pi L^2 (2\alpha /360) - R*BE = \pi R^2/2

sau, în radiani:
 

S = R^2 \beta + L^2\alpha - R*BE = \pi R^2/2

dar


sin\beta = BE/L \left ( 1 \right ), \beta = 2\theta \left ( 2 \right ), \alpha =\pi /2 - \theta\left ( 3 \right ), sin\theta =L/2R\left ( 4 \right )


Obținem în continuare:


S = R^2 \beta + L^2\alpha - R*L*sin\beta = \pi R^2/2


si


S = 2R^2 \theta + 4R^{2}sin^{2}\theta (\pi /2-\theta ) - 2R^{2}sin\theta sin2\theta = \pi R^2/2


simplificăm prin R


2 \theta + 4sin^{2}\theta (\pi /2-\theta ) - 2sin\theta sin2\theta = \pi/2


sau


2 \theta + 2 \pi sin^{2}\theta - 4 \theta sin^{2}\theta - 2sin\theta sin2\theta = \pi/2


Mă ajută cineva? Poate fi estimat cumva unghiul din ecuatia de mai sus?

1 0

\sin \beta nu este BE/R? Eu am incercat cu calcul integral si m-a apucat groaza! Am gasit niste formule care aproximeaza aria segmentului de cerc si ma gandeam ca proprietarul izlazului n-o sta el sa numere firele de iarba din el! :)

0 0

Desigur. Am greșit. Se modifică așadar formulele:


2 \theta + 2 \pi sin^{2}\theta - 4 \theta sin^{2}\theta - sin2\theta = \pi/2

Am băgat ecuația de mai sus în root finder-ul din Wolfram Alpha și am obținut că


\small \theta \approx 0.617948462139955 


Deci să zicem 0.618.
 

\small sin\theta = 0.57940624


De unde rezultă că L este 1.15881248 * R, aprox. 1.159 * R.

Pe varianta cu ariile segmentelor de cerc la ce valoare ați ajuns și cu ce formule de aproximare?
 

Altfel, bineînțeles că ar fi frumos dacă am avea și o explicație despre cum s-ar rezolva, fie și aproximativ, o ecuație precum cea în \small \theta.


Sigur nu s-ar supăra proprietarul terenului :)

0 0
O idee de a evalua aria fara unghi doar pe baza lungimi coardei si a inaltimi dar e clar ca doar inaltimea segmentului circular determina evident unic si lungimea coardei intr-un cerc de raza determinata.Astfel daca gandim pe ideea de direct proportionalitate si anume intre inaltime si arie obtinem ca aria ca un produs dintre h ,a si k unde h e inaltimea ,a lungimea coardei si k o constanta .
0 0
Nu pot vedea imaginea.
0 0

nu ma descurc deloc ,pot sa o adaug de la mine din calc?

O sa continui fara imagine .Deci daca avem o coarda cercul se imparte in 2 zone de segmente circulare una cu inaltimea h si cealalta cu inaltimea 

2R-h  .Punand

 hak+(2R-h)ak=\frac{\pi R^{2}}{2} 

obtinem 

 k=\frac{\pi r}{2a}    si aria devine 

A=\frac{\pi h R}{2}.

Eu m-am folosit de aceasta relatie si am calculat aria zonei de intersectie ca suma celor 2 segmente circulare una de inaltime FE si raza L si alta de inaltime PE si raza R.

Pentru calculul lui PE am scris puterea punctului E in ambele cercuri fiind egala cu BE^2 .Adica :R^2-AE^2=L^2-PE^2=BE^2

Inlcind AE =R-PE se deduce PE

Dpa calcule am obtinut 

PE=\frac{L^2}{2R}     dupa care FE=L-PE=L-\frac{L^2}{2R}=\frac{2RL-L^2}{2R}

Scriem acuma ecuatia ariilor:

\frac{L^2}{2R}\frac{\pi R}{2}+\frac{(2RL-L^2)}{2R}\frac{\pi L}{2}=\frac{\pi R^2}{2}

Dupa simplificare si aducerea la acelasi numitor obtin ecuatia omogena:

3L^2R-L^3=2R^3

Care dupa impartirea cu R^3 ma duce la ecuatia de grad 3 :

3x^2-x^3=2

care are solutii

 1;1+\sqrt{3};1-\sqrt{3} singura care convine fiind x=1 adica L=R

Adica cam ciudat :) dar poate intelegi putin din ce am facut aici.

0 0
Eu fac poze cu geogebra local si le urc pe imgur, un site de upload imagini. De acolo dau linkul aici.
0 0

Deși pare logic raționamentul dvs., nu este corect. Aria unui segment de cerc în funcție de h și R are de fapt formula

\small \small A=R^{2}cos^{-1}(\frac{R-h}{R})-(R-h) \sqrt{2Rh-h^{2}}
 

0 0
Mult prea complicata formula aceea dar e ok din moment ce in calcul integral arata grav ,ca si cea legata de unghi .Acuma e normal ca direct proportionalitatea nu se aplica dar totusi cred ca formula aceea aproximeaza cat decat.Daca inlocuim in formula reala obtinem o ecuatie imposibila de rezolvat direct si doar sa fie evaluata.
0 0
Totuși soluția obținută de dvs. e destul de departe de valoarea aproximată de Wolfram Alpha.
0 0

Dacă facem sfoara de lungime R, atunci aria pe care poate paște calul devine 1.228 * R2, dacă nu am greșit la calcul. Destul de departe de ceea ce ne dorim. E nevoie deci de altă funcție de aproximare.

0 0

@goguv În expresia lui A, pe care aţi dat-o, nu apare \pi? Întreb fiindcă, dacă punem h=R, obţinem A=R2 dar segmentul devine semicerc şi A trebuie să fie \piR2/2, greşesc cumva? Eu am întâlnit două formule care aproximează pe A, cea mai simplă (dar mai puţin precisă) fiind A \approx (2/3)*h*a (h-inaltimea segmentului si a-lungimea coardei corespunzătoare) dar chiar şi aşa ecuaţia în L nu e simplă...

0 0

Asta am găsit pe internet. Raportat la unghiul care descrie sectorul de cerc asociat segmentului de cerc, formula este 

\small A = \frac{R^{2}}{2}(\theta - sin\theta )

Adica aria sectorului din care se scade aria triunghiului.

1 0

M-am lămurit: cos-1 este acolo arccos și, pentru h=R, returnează \pi/2 (unghiul în radiani).

Te rugam sa te autentifici sau sa te inregistrezi pentru a raspunde la aceasta intrebare.

...