Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.4k intrebari

6.6k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
213 vizualizari

Are cineva vreo idee pentru stabilirea limitei sumei (?) :

\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \prod_{x=1}^{n} \frac{P_{x}-1}{P_{x}}\right )=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 5}+\frac{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\cdot \cdot \cdot

Px este al x-lea număr prim.

M-ar interesa o valoare maximă pe care o poate avea suma (desigur, dacă nu tinde la infinit).

a intrebat Junior (583 puncte) in categoria Matematica
1 0

Termenul seriei poate fi evaluat cu ajutorul teoremei a treia a lui Mertens

Mertens' 3rd theorem:

\lim _{{n\to \infty }}\ln n\prod _{{p\leq n}}\left(1-{\frac  1p}\right)=e^{{-\gamma }},

where γ is the Euler–Mascheroni constant.

In concluzie seria respectiva se comporta precum seria

\sum \frac{1}{ln N}\sim \sum \frac{2^N}{ln 2^N} 

Am folosit criteriul condensarii al lui Cauchy si ne rezulta divergenta la prima vedere.Totusi e o mica diferenta vizavi de evaluarea lui N pentru al n-lea numar prim.Totusi chiar daca luam 

N=2^n seria ramane divergenta. 

0 0

Deci, în concluzie, seria este divergentă.

Așa mai merge! :)

Pentru că am găsit o relație interesantă ce încadrează funcția \pi (n) :

\pi (n)-\left (\pi (\sqrt{n})-1 \right )-u\leq n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}\leq \pi (n)-\left (\pi (\sqrt{n})-1 \right )+u

unde u este seria de mai sus până la \pi (\sqrt{n}):

u=\sum_{n=1}^{\pi (\sqrt{n})}\left ( \prod_{k=1}^{n} \frac{P_{k}-1}{P_{k}}\right )

Scris într-o formă alternativă ar fi

n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}+\left ( \pi (\sqrt{n})-1 \right )-u\leq \pi (n)\leq n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}+\left ( \pi (\sqrt{n})-1 \right )+u

Dacă u nu este o serie divergentă, ar fi însemnat că am greșit pe undeva, deși am verificat bine dacă sunt corecte relațiile.

Cam lungi relațiile, dar mersi pentru răspuns.

0 0

Ca idee folosind teorema lui Bertrand demonstrata de Cebysev care afirma ca intre un numar si dublul sau exista cel putin un numar prim deducem ca pana la 2^n avem n numere prime de aceea respectiva serie devine divergenta.Pentru cazul N=2^n numai avem nevoie de condensare ,ea pur si simplu devine echivalenta cu seria armonica cunoscuta ca fiind divergenta.

Te rugam sa te autentifici sau sa te inregistrezi pentru a raspunde la aceasta intrebare.

...