Căutare folosind rigla

Question

Fie un triunghi oarecare, ABC și un cerc ce nu trece prin nici un vârf al triunghiului și al cărui centru (notat O) nu se găsește pe niciuna din dreptele ce includ laturile triunghiului. Se cere determinarea centrului cercului circumscris triunghiului ABC folosind doar o riglă negradată și trasând cât mai puține linii.

Comments

Acum că tot am terminat cu prășitul nu ne dezvă-uluiți și soluția cu cele mai puține linii, soluție pe care bănuiesc că ați descoperit-o de la bun început? Nu de alta, dar nu aș dori să depășesc măsura la alcool pentru a deveni mai inteligentă și deci capabilă de a da o rezolvare <- vorba unui amic "intergalactic" de site. Dar dacă asta spune știința că trebuie să execut,, cu drag o fac și pe aceasta.

---

Deja ați sugerat, în intervenția de luna trecută, premize valide pt. rezolvare și, da, vă cred capabilă să o găsiți. Mă abțin, totuși, să v-o cer, ca să n-ajungeți să întrebați ”care tragi, bă, de covor?”.

Answer 1

Pornesc de la premiza ca asezand o muchie a riglei peste o dreapra d pot trasa de-a lungul celeilalte muchii dreapta d1 paralela cu d, la distanta h=latimea riglei.

Am desenat un triunghi ABC si cercul de centru O, aflat in interiorul triunghiului, cercul intersecteaza laturile AB si AC in D,E respectiv F,I, dar se poate considera orice situatie, cu anumite completari. Trebuie gasit punctul de intersectie al mediatoarelor lui ABC.

Ca sa gasim mijlocul unui segment MN, trasam d1║MN si.d2║d1, folosind rigla cum am spus mai sus , se ia un punct oarecare S pe d2, in triunghiul MNS  punctele de  intersectie ale lui d1 cu laturile MS si NS ,N1 si M1, se afla la mijlocul laturilor respective. Trasam medianele NN1si MM1 care se intersecteaza in Q, apoi mediana SQS1, S1 este mijlocul segmantului MN. Aplicam acest procedeu pentru a gasi mijloacele laturilor AB si AC ale triunghiului nostru, le notam cu C1, respectiv B1. Apoi , trasam o perpendiculara in E pe AB ducand diametrul DOO1, O1E este perpendiculara pe DE (  unghiul O1ED este inscris intr-un semicer, deci are 90 grade), deci si pe AB. La fel trasam perpendiculara in I pe AC.. Ramane sa trasam prin C1 o paralela la O1E si prin B1 o paralela la O2I,acestea vor fi mediatoarele laturilor AB, respectiv AC, iar punctul lor de intersectie, Q, va fi centrul cercului circumscris lui ABC. Pentru aceasta gasim mijloacele segmentelor O1E si O2I  astfel : triunghiurile OO1E si OO2I sunt isoscele,  trasam cu ajutorul riglei o paralela la laturile O1E si O2I,   intersectia diagonalelor trapezelor isoscele formate si varful O opus laturilor respective se afla pe medianele corespunzatoare acestor laturi, folosind rigla marcam mijloacele acestor laturil.

Pot trasa o paralela la un segment MN, daca ii cunosc mijlocul S1 , printr-un punct exterior P, care nu apartine dreptei MN  in felul urmator : trasez MP si o prelungesc pana intr-un punct oarecare S. Trasez SS1, NS si NP.Fie R intersectia dintre SS1 si NP, trasez MR si o prelungesc pana intersecteaza NS in T. PT va fi paralela cu MN( teorema lui Ceva)

Aplic acest procedeu pentru segmentul O1E si punctul C1,trasand paralela la O1E prin C1, si pentru O2I si B1, trasand paralela la O2I prin B1. Intersectia lor va fi centrul cercului circumscris triunghiului. Vor fi mai putine linii de trasat daca C1 apartine lui DE si B1 lui FI pentru ca vom putea folosi triunghiurile DEO1 si IFO2 gata construite.

Cercul poate avea orice pozitie, cred, ,dar va trebui sa construim paralele la laturile triunghiului, sau sa le prelungim pentru a obtine cele 2 corzi necesare, deci mai multe linii de trasat. Oricum, faptul ca a iesit o  constructie bogata si am folosit premiza initiala ma face sa pun la indoiala corectitudinea acestui raspuns. Dar , poate inspira pe altcineva.

Comments

Ca în șah: mai bine cu un plan de joc îndoielnic decât fără el! Răspunsul dvs. are părți bune. Însă de dragul premizelor folosite (instrumentul+pozitia cercului) mai că aș modifica textul problemei! Chiar și în aceste condiții întreb: O₁E este perpendiculară pe DE deci și pe AB?

---

Evident că O₁E este perpendiculară pe AB.
În aceeași manieră, adică pentru a stabili mediatoarele pe pot folosi următoarele:
Avînd la dispoziție un cerc fixat se pot face:
1. Construirea unei paralele la o dreaptă dată dintr-un punct oarecare
2. Construirea unei perpendiculare pe o dreaptă dată dintr-un punct oarecare
Astfel, după desenul imaginar, se duce perpendiculara din C pe AB, se află mijlocul C₁ ducînd două paralele, una din A la BC și cealaltă din B la AC rezultînd un paralelogram cu C₁ aflat la intersecția diagonalelor. Apoi din C₁ se duce paralela la înălțimea trasată anterior.
Soluția este remarcabilă și pentru faptul că am aflat cum se stabilește mijlocul unui segment doar cu rigla negradată, ce-i drept cu laturi paralele.

---

Ok, D și E sunt ambele pe AB (eu înțelesesem altfel).