Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
814 vizualizari

x și y sunt două numere naturale astfel încât numărul z=x+y-2\sqrt{xy+1} este întreg.

Numărul z poate fi strict negativ? Dacă da, pentru ce valori ale lui x și y? Dar prim? Dacă da, pentru ce valori ale lui x și y?

Junior (971 puncte) in categoria Matematica
0 0

Gheorghița: Ca să nu știrbesc din naturalețe (și văzând că franceza nu vă e chiar străină), iată textul original:

Soit x et y deux naturels non nuls tels quez=x+y-2\sqrt{xy+1} soit entier.

a) Pour quelles (éventuelles) valeurs de x et y l'entier z est-il strictement négatif ?

b) Pour quelles (éventuelles) valeurs de x et y l'entier z prend-il la valeur 75 ?

c) Pour quelles (éventuelles) valeurs de x et y l'entier z est-il premier ?

Ca să nu supraîncarc pe nimeni, am lăsat doar întrebările a) și c).

0 0
Nu ar fi rău să ne mai delectați cu o problemă interesantă în maniera frumoasă folosită de dvs.

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

1.  x + y < \small 2\sqrt{xy+1} -> (x - y)2 < 4. Prin urmare (x - y) = -1 sau 1 sau 0. Trec la condiția impusă de prezența radicalului și anume expresia xy + 1 trebuie să fie pătrat perfect:
    x - y = -1 => y = x +1 => xy +1 = x2 + x + 1.  Dar x2 < x2 + x + 1 < (x + 1)2
    x - y = 1 => x = y +1 => xy +1 = y2 + y + 1.  Dar y2 < y2 + y + 1 < (y + 1)2
    x - y = 0 => xy +1 = x2 + 1. Dar x2 < x2 +1 < (x + 1)2
Expresia de sub radical se află între două pătrate perfecte consecutive în toate cele 3 situații, deci nu poate fi pătrat perfect. Concluzia este că z nu este niciodată negativ și trecem la partea dificilă.
2.  x + y - z = \small 2\sqrt{xy+1}.  Ridicăm la pătrat : x2 + y2 + z2 + 2xy - 2xz - 2yz = 4xy + 4. Trecem totul în stînga și grupăm: (x2 - 2xy + y2) - 4 - z( 2x + 2y - z) =0. Obțin (x - y)2 - 4 = z( 2x + 2y - z). Descompun partea stăngă: (x - y - 2)(x - y + 2) = z( 2x + 2y - z). Pentru că z este presupus număr prim rezultă că unul din membrii produsului din stînga este multiplu de z. Apar două situații:
    a) x - y - 2 = qz și atunci x - y + 2 = ( 2x + 2y - z)/q sau
     b) x - y + 2 = qz și atunci x - y - 2 = ( 2x + 2y - z)/q.
q este număr natural  impar \small \geqslant3 pentru că din x + y = z ( număr prim ) + \small 2\sqrt{xy+1} (par ) reiese că unul din numerele x și y este par și celălalt impar => x - y -2 = qz = impar. q este mai mare decît 1 pentru că dacă ar fi înlocuind q = 1 în ecuațiile de mai sus iese y = 0. Deocamdată las deoparte cazul z = 2.
a)  y = x - qz - 2 .  Înlocuiesc în a doua ecuație, mai grupez pe ici pe colo și obțin în final x = q +1 + z(q + 1)2/4 și y = q -1 + z(q -1)2/4   Pe q fiind impar îl scriu q = 2t  + 1 și obțin forma finală: 
    x = 2(t + 1) + z(t + 1)2  și y = 2t  + zt2 oricare ar fi z număr prim și oricare ar fi t număr natural. Pentru valori de această formă expresia x + y - \small 2\sqrt{xy+1} este un număr prim.
b) Se procedeaza la fel ca la punctul a) și apar doar diferențe de semnele + și -.
Arăt că și în cazul particular z = 2 numărul q trebuie să fie impar:
x - y = 2q + 2. Presupun că q = 2p => x - y = 4p + 2. Din ipoteză x + y  = 2 + 2k.  Obțin x = 2p + 2 + k și y = k - 2p.  Trebuie să avem xy + 1 = k2 => (2p + 2 + k)(k - 2p) + 1 = k2  => - 4p2 + 2k - 4p = -1 imposibil, deci q nu este par.

Dificilă problmă să vedem și dacă am nimerit-o.

Senior (5.0k puncte)
0 0

Pun lipsa de reacție pe seana faptului că răspunsul este puțin mai complicat. Pînă și autorul întrebării este "silencieux et indifférent". 

Bzn Radu: Nu  mă consider pricepută în limba franceză dar pot să vă spun; "Aucun autre. Nous ne jouons pas au tennis. Plus de amitié"

0 0
Îmi sare în ochi un aspect.
N-am pus creionul pe hârtie, dar la punctul 2, în concuzia pe care aţi scris-o cu caractere bolduite, am impresia că nu poate fi corectă.
Am raţionat aşa.
L-am fixat pe z prim şi-l las variabila pe t.
Înlocuind în expresiile pentru x şi y valoarea fixată a lui z şi oricare valoare pentru t înseamnă că x+y-2sqrt(xy+1) este o formulă care generează numai numere prime.
Ori se poate demonstra că nu poate exista o asemenea expresie care să genereze numai numere prime.
Sper să nu mă înşel şi să fi înţeles corect concluzia dvs.
0 0
 Nu, nu l-am luat in calcul pe z care apare in exprimarea lui x si y, precum si faptul ca z=x+y-2sqrt(xy+1) .
0 0
Sigur n-aţi greşit pe undeva?
Am inlocuit expresiile la care aţi ajuns pentru x si y in  cazul 2, z prim, din concluzia "bolduita" in egalitatea
Z = x + y - 2sqrt (xy+1)
si ajung la o egalitate care nu este congruenta cu zt+2.
0 0
Acum am calcuat ce ati facut, cu creionul pe hartie, nu doar in minte, si e corect.
Mica mea inconvenienta este exprimarea lui x si y in functie de z.
0 0

CiprianM: Mulțumesc pentru verificare. z trebuie privit ca oricare număr prim sî nu ca expresia din enunț, deși e unul și același lucru. Poate era mai bine să fi notat altfel numărul prim din formulele finale. Credeți că se pot stabili  expresii mai simple pentru x și y? Eu una, nu. 

0 0
Nici eu nu cred.
De altfel, asa cum am spus si udeva mai sus, daca s-ar putea gasi expresii pentru x si y care sa nu-l contina si pe z, ar insemna ca vorbim de o formula care genereaza doar numere prime, nu neaparat in ordine consecutiva.
Iar asta este imposibil.
Mai analizez si eu acum o idee ce-mi trece prin minte.
Sa vedem daca da roade pentru z prim.
Daca nu...eu nu am solutie mai simpla sau mai evidenta.
0 0
Asa, la repezeala, am putea analiza si in felul urmator, incercand sa gasim expresii pentru x si y independente de z.
Din datele problemei radicalul respectiv trebuie sa fie patrat perfect iar prin urmare xy = u^2 -1, de unde x = (u^2 - 1)/y.
Inlocuim valoarea lui x si a lui xy sub radical in egalitatea
Z = x + y - 2sqrt(xy + 1),
amplificam ulterior cu y egalitatea, rearanjam termenii si obtinem intr-un final
(u-y+1)(u-y-1) = zy , cu z prim.
De aici putem analiza factorizarea lui y si distributia factorilor sai in parantezele din stanga cam cum ati facut dvs, tinand cont ca z e prim si incercand sa dezvoltam expresii pentru x si y in functie de u.
Dar nu mai am timp acum.
Poate va da dvs vreo idee, daca nu cumva ati analizat deja aceasta modalitate.
0 0
Lipsa de timp pentru creion si hartie m-a facut sa reactionez cu intarziere. Felicitari!
...