Justificați EF față de XY

Question

În trapezul ABCD (AB||CD) diagonalele se intersectează în E. Punctul F se află pe AB astfel încât DF=CF. X este centrul cercului circumscris triunghiului DAF iar Y e la fel pentru triunghiul BCF. Arătați că EF perpendiculară pe XY.

Comments

Edit:

Acum este corect, cam așa ar trebui să fie desenul.

---

Mă gândesc că în cercul circumscris triunghiului ADF să ducem diametrele perpendiculare așa cum este arătat în imaginea de mai jos, cu diametrul vertical perpendicular pe AB.

Notațiile din imaginea de mai sus sunt :

• punctul G este intersecția diametrului vertical menționat mai sus cu diagonala DB,
• punctul H este intersecția XY cu DB
• punctul O este intersecția XY cu EF

 Să facem un zoom doar triunghiului evidențiat în imaginea de mai sus :

și să analizăm unghiul făcut de EF (prelungirea lui  EO) cu diametrul verde orizontal al cercului respectiv și unghiul GXO, după care să raportăm diferența la triunghiul EOH.

Answer 1

AC intersectează cercul circumscris triunghiului  DAF în A₁.
BD intersectează cercul circumscris triunghiului  BCF în B₁.
Patrulaterul ABA₁B₁ este inscriptibil pentru că:BB₁C = BFC (același arc de cerc) = AFD ( triunghiul DFC este isoscel) = AA₁D (același arc de cerc) = > BB₁C = AA₁D =>  DA₁C = DB₁C (unghiurile suplimentare) => patrulaterul B₁A₁CD este inscriptibil => BB₁A₁ = ACD = CAB. Avînd BB₁A₁ = CAB patrulaterul ABA₁B₁ este inscripribil. Desenăm acest cerc. Avem trei cercuri care se intersectează două cîte două: DAF cu ABA₁B₁ (coardă comună AA₁, A₁ se află pe diagonala AC), BCF cu ABA₁B₁ (coardă comună BB₁, B₁ se află pe diagonala BD) și DAF cu BCF (coardă comună FF₁) . 
Facem un desen nou, simplu, cu trei cercuri care sînt secante două cîte două. Cele trei coarde comune (numite axe radicale) se întîlnesc într-un punct numit centru radical. Nu mai demonstrez acest lucru pentru că este o teoremă cunoscută, dar pun două linkuri lămuritoare: http://mathworld.wolfram.com/RadicalCenter.html și https://en.wikipedia.org/wiki/Power_center_(geometry)

Revenind la primul desen, FF₁ trece prin intersecția dintre AC și BD, punctul E, deci F_1, E și F sînt coliniare. Coarda comună a două cercuri care se intersectează este perpendiculară pe linia ce unește cele două centre => EF   XY.

Comments

Cu ce program desenati?

---

GeoGebra. Primul meu desen realizat cu o aplicație informatică. Ce nu vă place la el? Despre soluție oare de ce nu spuneți nimic, pentru că prima dată apare soluția și apoi desenul (cum ar fi găina => oul).

---

Măiestrie încă o dată dovedită. Felicitări!

---

Mulțumesc pentru cuvintele frumoase. O problemă dificilă. Și enervantă pentru că în ciuda multiplelor căi de abordare, nu ajungi nicăieri.

---

Partea cu coarde comune numite si axe radicale dezinformeaza putin si se intelege ca asa ar fi definitia unei axe radicale.Deci pentru cine nu cunoaste axa radicala este locul geometric al punctelor care au aceeasi putere fata de 2 cercuri distincte.Asta e si ideea demonstratiei teoremei respective .Intersectia a 2 axe radicale face ca acel punct sa aiba aceeasi putere fata de toate cele 3 cercurile si deci se afla si pe cea de a treia axa radicala.De aceea el este un centru radical.

---

Așa este. Trebuia să spun "coardele aparțin axelor radicale". Dezinformarea presupune, în general, un grad de intenție. Se putea folosi altă exprimare. 

---

GeoGebra. Primul meu desen realizat cu o aplicație informatică. Ce nu vă place la el?

Este foarte reușit desenul și se pare că aplicația permite salvarea desenului într-un format vectorial.

Dacă dați un ctrl + de la tastatură când se mărește desenul nu se pierde claritatea.

Felicitări și pentru soluție !

Nu putea fi așa simplă cum credeam eu inițial.

---

@Gheorghita:

Mi-a sarit in ochi desenul inainte de a citi raspunsul. O sa incerc sa invat si eu programul respectiv, caci se pare ca s-a intrat in era problemelor de geometrie pe aici. Figura e superba. Rezolvarea, asemenea.

In alta ordine de idei, sa stiti ca eu inca mai astept o idee noua si la problema cu patrate, pentagoane si hexagoane. Mi-a ramas ca un ghimpe in calcai respectiva intrebare, inca nerezolvata...

---

goguv: Mulțumesc. Într-adevăr s-au nimerit niscai întrebări de geometrie. Ar trebui să vă bucure acest fapt pentru că ați dovedit prin răspunsurile și comentariile dumneavoastră că sînteți interesat, curios, ba chiar și competent în orice ține de logică. În altă ordine de idei, una peste alta - limbajul comentatorilor de sport - mi-ați sugerat delicat să mai spun ceva despre problema "p-p-h". Uitasem de ea. Ideea dvs. privind ariile nu duce decît la calcule insuportabile, chiar și pentru computer. M-am ales și eu cu "ghimpi în călcîie"  provocați de absența unor răspunsuri. AdiJapan este inculpatul.   

CiprianM: Mulțumesc. Poate puneți și o întrebare. Dar răspunsul la ea să fie însoțit de un desen.