Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
4.1k vizualizari

Într-un triunghi ABC se iau punctele oarecare A1, B1 și C1 pe laturile opuse vîrfurilor A, B, C. Cum se arată că mijloacele segmentelor AA1, BB1 și CC1 nu pot fi coliniare?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica
0 0

Păi se pare că dacă triunghiul este obtuz se pot trasa trei segmente astfel încât mijloacele lor să fie coliniare :

 

În desenul de mai sus am trasat cu albastru din mijlocul laturii din stânga triunghiului paralelele la latura de jos și cea din dreapta.

Din Thales rezultă că orice segment care unește vârful de sus cu latura de jos va intersecta linia albastră orizontală în mijlocul segmentului.

La fel și pentru vârful din stânga și latura din dreapta.

După aia, am trasat a treia linie albastră din mijlocul laturii de jos paralelă cu latura din stânga, iar orice segment care unește vârful din dreapta cu latura din stânga va intersecta această a treia linie în mijlocul segmentului.

În concluzie, dacă există o dreaptă care intersectează toate liniile albastre înseamnă că pot fi trasate în triunghi trei segmente AA1, BB1 și CC1  ce pot fi coliniare.

Înțelegi ce spun ?

Dar totuși, am trasat liniile la ochi și pare că pentru triunghiuri obtuze enunțul nu este tocmai adevărat.

Greșesc ?

Edit:

Da, greșesc, din teorema lui Thales rezultă că liniile albastre, acele paralele, se vor întâlni în același punct pe fiecare latură a triunghiului negru, fiind trasate prin mijlocul laturilor triunghiului, și așa se demonstrează și problema ta.

Vezi mai jos.

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Edit:

AC'=C'B și C'B' paralelă cu BC .

Din teorema lui Thales rezultă de asemenea că AB'=B'C.

Tot din teorema lui Thales rezultă că paralela la latura AC din punctul C' va intersecta BC în punctul A', astfel încât BA'=A'C.

Fie un segment AA1 care unește vârful A cu latura BC, A1 este un punct oarecare pe latura BC.

Din teorema lui Thales rezultă de asemenea că punctul de intersecție al segmentului  AA1 cu paralela C'B' va fi mijlocul segmentului  AA1 .

Aceasta se poate stabili pentru orice segment BB, cu B1 un punct oarecare pe latura AC și pentru orice segment CC, cu C1 un punct oarecare pe latura AB.

Mijloacele segmentelor AA1 , BB1 și CC1 vor putea fi coliniare dacă există o dreaptă care să intersecteze toate laturile triunghiului A'B'C'.

Aceasta este imposibil, iar mijloacele segmentelor AA1 , BB1 și CC1 nu vor putea fi coliniare.

Junior (584 puncte)
3 0
Vă felicit. "Înțelegi ce spun" ?
0 0

smiley

Am formulat întrebarea pentru că mi-era mie greu să înțeleg și să urmăresc ce-am scris acolo.

Dar te felicit și eu pentru că ai reușit să transformi întrebarea într-un zâmbet.

0 0

De fapt, există cazuri izolate, când mijloacele segmentelor AA1, BB1 și CC1 pot fi coliniare, astfel încât mijloacele acestor segmente sunt trei puncte diferite în interiorul triunghiului ABC.

Spre exemplu, în imaginea de mai sus, consideră punctul B ca fiind punctul A1, situație în care AA1 este AB, punctul B ca fiind punctul C1, situație în care CC1 este BC, iar punctul B' , sau oricare altul de pe latura AC, ca fiind punctul B1, situație în care BB1 este BB' .

Mijloacele segmentelor AA1, BB1 și CC1, adică AB, BC și BB' în acest caz, se vor afla toate pe segmentul C'A' , deci coliniare.

Înțelegi ce spun ? 

smiley

0 0
Corectă remarca. Mai mereu omit excepțiile.
...