O poveste inventată / C-o elipsă maltratată

Question

De mult, în vechea Eladă, un bătrân geometru le vorbea discipolilor despre elipsă. Folosind o sfoară cu doi țăruși la capete, Maestrul a desenat pe nisip elipsa și apoi le-a explicat în detaliu toate proprietățile acestui loc geometric.

Vrând să pună la încercare priceperea învățătorului, doi discipoli au șters în timpul nopții toate detaliile figurii cu ajutorul căreia li se predase lecția,  lăsând doar conturul elipsei, ascunzând și țărușii legați cu sfoară. A doua zi are loc următorul dialog:

- Maestre, cineva a șters peste noapte toate liniile și punctele remarcabile pe care le-ai desenat ieri în interiorul elipsei, lăsând doar conturul acesteia. Mai mult, a dispărut și sfoara cu cei doi țăruși. Iar noi tocmai voiam să te rugăm să mai desenezi o elipsă, identică cu cea de ieri, pentru a aprofunda cunoștințele pe care ni le-ai dăruit.Vrei să căutăm un ghem de sfoară și doi țăruși și să ți le aducem pentru a desena o elipsă identică?

Maestrul îi privește o clipă și le răspunde:

- Până să-mi trebuie sfoara și țărușii voi folosi vechile și bunele mele unelte, rigla și compasul. După ce-mi fac treaba vă las pe voi să legați țărușii cu sfoară la lungimea potivită și să trasați noua elipsă fără pic de bâjbâială.

Asta a fost povestea.

Iar în timp ce eu încalec pe-o șa, vă las pe voi s-o continuați și să spuneți ce a făcut mai departe Maestrul și cum s-au folosit discipolii de lucrarea lui.

Answer 1

Propun bătrînului geometru următoarea soluție:
Folosind conturul elipsei:
1. Se află centrul elipsei:
    Se construiesc două coarde paralele în elipsa doar conturata. Cu rigla se determină mijloacele acestora. Dreapta determinată de aceste două puncte va trece și prin centrul elipsei. Luînd alte două coarde paralele și intersectînd dreapta formată de mijloacele lor cu cea anterioară vom obține centrul elipsei. Precizez: pentru a construi o dreaptă paralelă cu una dată, d să zic, se duce un cerc dintr-un punct exterior dreptei, acesta va intersecta dreapta d într-un punct; din acesta se măsoară pe dreaptă un alt punct stabilit prin faptul că segmentul astfel determinat este egal cu raza cercului anterior. Din acest ultim punct se trasează un cerc cu aceeași rază care se intersectează cu primul. Punctul de intersecție rezultat împreună cu cel de la care s-a pornit determină o dreaptă paralelă cu d.   
2. Se desenează axele elipsei:
    Din centrul aflat al elipsei se desenează cu compasul un cerc oarecare care intersectează elipsa în patru puncte care formează un dreptunghi. Stabilesc cu rigla mijloacele tuturor laturilor acestuia și unind mijloacele opuse, acestea vor determina axele elipsei. Măsor cu rigla axa mare A.
3. Se află focarele elipsei:
    Un punct P de pe elipsă îndeplinește PF1 + PF2 = A, F1, F2 - focare și A - axa mare. Dacă P este la intersecția axei mici cu elipsa obținem PF1 = PF2 = A/2. Deci trebuie să iau în compas semiaxa mare și trasez un cerc din punctul de intersecție al axei mici cu elipsa; intersecțiile acestuia cu axa mare determină focarele. Măsor cu rigla distanța focală f.
Maestrul pune doi țăruși avînd o distanță de 2f între ei și folosește o sfoară de lungime A, ambele determinate mai sus.

Comments

Felicitări!

Am însă un comentariu și o întrebare:

Odată ce ați determinat poziția focarelor nu mai aveți nevoie de distanța focală. Nu aveți decât să înfigeți țărușii, legați între ei cu o sfoară de lungime A, în cele două focare, după care trasați elipsa.

Și întrebarea: cum determinați mijlocul unui segment cu rigla ? 

---

Enunțul este clar. Avem conturul unei elipse și trebuie să desenăm una identică, undeva pe lingă acel contur. Dacă pun țărușii în focarele găsite, desenez peste elipsa deja existentă, din acest motiv am nevoie de distanța f. Eu credeam că rigla este gradată, dar nu are importanță pentru că iau în compas lungimea segmentului și desenez cîte un cerc din fiecare capăt al segmentului. Acestea se intersectează în două puncte. Dreapta obținută prin unirea lor trece prin mijlocul segmentului (s-a obținut de fapt un romb).

---

În problemele de geometrie care cer să construiești ceva numai cu rigla și compasul, rigla nu este gradată. E ceea ce în engleză se cheamă straightedge, doar o muchie dreaptă.

Dar soluția îmi place, felicitări. Eu m-am poticnit la primul pas, că n-am fost în stare să găsesc centrul elipsei numai cu rigla și compasul. Mai departe m-aș fi descurcat, dar ce folos.

---

@Gheorghița. Aveți dreptate, trebuie desenată o altă elipsă, deci luăm în compas distanța focală și o așezăm pe noul amplasament. Mijlocul segmentului se determină cu precizie așa cum ați indicat în comentariu. Chiar presupunând că rigla e gradată (ceea ce nu e cazul) precizia poziției ar fi afectată de rezoluția riglei.

Încă odată, felicitări pentru soluție!

---

@AdiJapan.

Metoda prin care Gheorghița a găsit centrul elipsei exploatează faptul că elipsa e proiecția cercului pe un plan neparalel. Astfel că proprietatea mediatoarei comune a două corzi paralele din cerc de a trece prin centrul cercului se conservă în modul în care linia care unește mijloacele unor corzi paralele din elipsă trece prin centrul elipsei, el însuși fiind proiecția centrului cercului.

---

Puiu, da, după ce am văzut răspunsul mi-am dat seama că asta a exploatat. Problema e că mie nu mi-a venit ideea să exploatez aceeași chestie. Probabil n-am stofă de exploatator. :-)

---

AdiJapan, deși m-am adresat dumneavoastră în ultimul meu comentariu, am avut în vedere că explicația poate fi utilă oricui citește, fără a mă îndoi că știți de ce poziția centrului a fost determinată astfel.

Da, și eu am uneori ezitări când e vorba de exploatare. O fi o reminiscență ideologică :-)