Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
811 vizualizari
Umblă acum pe siturile de socializare o problemă foarte frumoasă de matematică. Poate ați văzut-o, poate nu, eu o pun aici pentru orice eventualitate.

Pe o cîmpie se află patru orașe dispuse în vîrfurile unui pătrat, să zicem cu latura de 100 km. Orașele trebuie legate între ele cu autostrăzi în așa fel încît din orice oraș să poți ajunge cu mașina în oricare altul. Pentru consumul de energie al mașinilor ideal ar fi desigur ca între oricare două orașe să se realizeze cîte un segment de autostradă în linie dreaptă, adică toate laturile și diagonalele pătratului. Dar bugetul disponibil este foarte limitat, așa că proiectanții trebuie să găsească o soluție în care lungimea totală a autostrăzii să fie minimă.

Ce configurație va trebui să aibă autostrada?
Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Inteleg, din comentariul lui AdiJapan, ca nu am gresit calculul (chiar ma temeam de asta), asa ca public si ca raspuns ideile scrise acum cateva minute drept comentariu.

Cred ca o varianta de raspuns care duce la o autostrada mai scurta decat cea rezultata din cele doua diagonale ale patratului este urmatoarea:

Fie patratul ABCD, cu O intersectia diagonalelor.

Daca ducem perpendiculara din O pe latura AD, trebuie sa gasim punctul de pe acest segment (sa-i zicem P respectivului punct), astfel incat 2AP+PO sa fie minim (si sa vedem daca respectivul minim este mai mic decat 2AO, adica decat sqrt2, mergand pe ideea ca avem latura patratului egala cu unitatea).

Nu stiu cum s-ar calcula acest minim, dar pe cazul in care unghiul PAD are 30 de grade mi-a rezultat din calcule un drum mai scurt  (totul s-a redus la faptul ca 1+sqrt3 < 2sqrt2) ...

Bineinteles ca pe cealalta jumatate a patratului treaba decurge simetric...


Mie mi-ar placea sa citesc si o demonstratie cu privire la aflarea acelui minim de care vorbesc mai sus...
Senior (8.1k puncte)
1 0
Da, asta e soluția. Felicitări!

Iată și de unde știu problema:


Se poate demonstra ușor că punctul P așa cum l-ați construit face ca lungimea drumului să fie minimă. Mai exact se poate demonstra că dacă unghiul PAD are 30° atunci drumul e mai scurt și decît dacă P se mișcă spre centru, și decît dacă se mișcă spre margine. Pentru asta alcătuim o formulă care să arate cum depinde lungimea drumului de poziția lui P și aflăm prin simplă derivare că minimul funcției se obține atunci cînd cele trei unghiuri din jurul lui P sînt toate de 120°.

Cele trei unghiuri din jurul lui P sînt toate de 120°... Vă amintește ceva? Există un fenomen fizic în care apar în mod cu totul natural unghiuri de 120° în jurul unui punct: tensiunea superficială din filmele de apă cu săpun. Dacă faceți mai multe baloane de săpun și le lipiți între ele, oriunde se întîlnesc trei filme se formează unghiuri de exact 120°, singurul mod de a îndeplini dorința cea mai aprigă a filmelor de săpun, aceea de a-și minimiza suprafața.

Punctul P și perechea lui din partea simetrică sînt libere să se miște și pe direcția transversală în raport cu cea discutată anterior și chiar independent unul de altul. Calculul e mai dificil, dar nu imposibil, și constatăm că lungimea drumul e minimă este în configurația pe care ați găsit-o.

Mai e o problemă: s-ar putea ca acest minim să fie unul local, adică s-ar putea ca într-o cu totul altă configurație lungimea drumului să fie și mai mică. Dar pentru cele patru puncte ale noastre nu există o altă configurație. Nu știu dacă pentru asta e vreo demonstrație matematică riguroasă, în schimb există un experiment cu apă și săpun care sugerează că drumurile nu se pot configura altfel:
0 0
Minunata problema si minunate explicatii.

Daca ar fi sa "construiesc un pod" catre cealalta intrebare pusa recent de dvs., as zice si despre acest fel de a face scoala ca ar trebui sa preocupe mult mai mult umanitatea in prezent ca metodologie de a descifra lumea, metodologie de lasat mostenire viitorimii.

Adica, de la o problema aparent plictisitoare de geometrie, sa ajungi la minimizare de costuri pentru constructorii de drumuri, la intelesul profund al derivatelor, dar si la semnificatia adanca a tensiunii superficiale, asta da metoda de predare si de intelegere a lumii!

Foarte frumos!

Mai aveti? ;)
0 0
Cînd îmi vin idei de întrebări interesante (sau cînd le aud la alții, ca asta de aici) de obicei le pun pe Scientia. Din păcate există limite: unele idei se pun mai greu sub formă de întrebare sau problemă, altele sînt prea mărunte ca să pot porni o discuție despre ele și în sfîrșit altele sînt prea grele chiar și la nivel de discuție lejeră.

Așa este, învățămîntul are probleme grave, inclusiv prin faptul că materia e predată compartimentat, și avem nevoie de o adevărată revoluție. Nu doar în România, ci peste tot, dar e drept că în România problemele sînt considerabil mai grave decît în alte țări.

Despre revoluția necesară în învățămînt vi-l recomand cu mare căldură pe Ken Robinson. Iată trei din prezentările lui la TED, subtitrate în română:

http://go.ted.com/QSN
http://go.ted.com/brwA
http://go.ted.com/CpYR
0 0
M-ar interesa o unealta software cu care sa pot modela, atat matematic, cat si grafic, o problema de drum minim precum cea din aceasta problema (ma refer, mai exact, la ecuatia de care vorbiti prin care se poate calcula acea suma de 3 segmente in functie de unghi). As vrea ca, in conditiile in care eu definesc ecuatia, programul sa fie capabil sa imi calculeze derivate si sa imi puna si pe un grafic functia. Mai mult, as vrea sa pot desena si configuratia respectiva si sa "ma joc" cu punctul P, cu mouse-ul, iar in timp real sa vad cum variaza lungimea drumului.

Aveti idee despre existenta unui asemenea software?
0 0
Sigur că există, dar pentru detalii va trebui să întrebați cunoscătorii (de exemplu pe domnul Google...).

Pentru simulări, programare și calcule eu folosesc Matlab. În trecut am folosit și alte limbaje de programare ca Basic sau Pascal, dar acum Matlab îmi e suficient pentru tot ce am de făcut.

Pentru interactivitate și mai ales pentru ușurința de a le arăta și altora simulările ar fi însă de preferat un program care să meargă în navigatorul de internet, de exemplu JAVA, Flash sau HTML5, chestii la care eu nu mă pricep deloc, deși aș vrea să învăț.
0 0
V-am intrebat de asta pentru ca am mai citit mesaje de-ale dvs. in care vorbeati despre MathLab. Sa inteleg ca se preteaza la ce scriam eu? (nu ma gandeam la a scrie linii de cod, nicidecum, nu ma pricep la asa ceva si nu cred sa mai are rost sa invat acum; ma gandeam la o platforma care sa faca ea toata treaba, eu doar introducand niste date initiale, prin desene ori ecuatii).
0 0
Da, cu Matlab merge, deși nici eu nu-l folosesc la întregul potențial și nu am făcut programe în care să controlez parametrii cu mausul.

Nu e niciodată prea tîrziu să învățați un limbaj de programare. E foarte ușor.
0 0
Bun si Internetul la ceva.

$ goguv: felicitari pentru intuitie.

 

$AdiJapan: Java este usor de insusit doar daca se doreste obtinerea unei aplicatii de "o lulea si doua surcele", este un limbaj complex mai ales pentru partea server-client. Dar probabil erati nostalgic dupa frumusetea Delphi-ului.
0 0
Si eu m-am mirat, sincer sa fiu. Mi-au iesit si calculele bine, si am nimerit si peste minimul absolut... :)

Felicitari si dvs. 3 intepaturi subtile in 4-5 randuri, nu-i de colea! Dar, daca face bine la naturelul simtitor, nu ne suparam! :))
0 plusuri 0 minusuri
In forma de X.
Junior (817 puncte)
0 0
Bravo! Dar se poate și mai scurt.
0 0
Cred ca o varianta si mai scurta este astfel:

Fie patratul ABCD, cu O intersectia diagonalelor.

Daca ducem perpendiculara din O pe latura AD, trebuie sa gasim punctul de pe acest segment (sa-i zicem P respectivului punct), astfel incat 2AP+PO sa fie minim (si sa vedem daca respectivul minim este mai mic decat 2AO, adica decat sqrt2, mergand pe ideea ca avem latura patratului egala cu unitatea).

Nu stiu cum s-ar calcula acest minim, dar pe cazul in care unghiul PAD are 30 de grade mi-a rezultat din calcule un drum mai scurt...

Sper sa fi caculat bine (totul s-a redus la faptul ca 1+sqrt3 < 2sqrt2) ...

Bineinteles ca pe cealalta jumatate a patratului treaba decurge simetric...
0 0
Goguv, scrieți comentariul sub formă de răspuns și mai vorbim. :-)
...