Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
2.2k vizualizari

Definiți termenul general al șirului, an, printr-o relație de recurență de ordinul 2, care să conțină numai termenii an-1 și an-2.

Senior (6.6k puncte) in categoria Matematica
0 0

Cred că ar mai trebui impusă o condiție pentru felul în care trebuie exprimată relația de recurență. Altfel soluția e banală, pentru că relația se poate da sub forma unei liste de cinci cazuri:

1. Dacă an-2 = 1 și an-1 = 2 atunci an = 3.
2. Dacă an-2 = 2 și an-1 = 3 atunci an = 2.
3. Dacă an-2 = 3 și an-1 = 2 atunci an = 1.
4. Dacă an-2 = 2 și an-1 = 1 atunci an = 1.
5. Dacă an-2 = 1 și an-1 = 1 atunci an = 2.

Presupun că „ordinul 2” înseamnă cîți termeni anteriori intervin în calculul termenului curent.

0 0

Ceea ce se cere este o relație de recurență. Adică o expresie și numai una, care să înglobeze toate cazurile arătate de dumneavoastră.

 

Da, ordinul 2 înseamnă exprimarea termenului general în funcție de cei 2 anteriori.

 

Condiția ca expresia să conțină numai cei 2 termeni anteriori e ca în problema care cerea să se formeze un număr ca expresie algebrică conținând numai numărul 4 de 4 ori. Aici avem nu doar un număr ci două, care sunt temenii an-1 și an-2, iar numărul de apariții în expresia cerută nu mai e limitat. 

0 0

Păi și soluția banală cu cinci cazuri este tot o relație de recurență, așa cum de exemplu funcția Heaviside poate fi definită separat pe două intervale, dar e o singură funcție. Dar înțeleg că vreți o formulă care să acopere toate cele cinci cazuri.

0 0

Scuze că am îngroșat o-ul, nu am vrut să fiu nepoliticos.

Ați înțeles bine, se cere o relație de recurență exprimată printr-o singură egalitate, fără dacă și atunci.

Edit: abia după ce am făcut acest comentariu am observat că dăduseți deja un răspuns. Era pe un alt e-mail în telefon.

0 0
Nu, o-ul îngroșat n-a fost deloc nepoliticos. A avut exact doza necesară de emfază ca să înțeleg ce cere problema.

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Probabil există multe soluții, dar iată una care se construiește ușor.

Pentru simplitatea scrierii fac notațiile: x = an-2, y = an-1, z=an.

Atunci pe z îl calculez ca o sumă de cinci termeni, în care fiecare termen are un anumit coeficient:

z =   (-3/2)*(x-2)*(x-3)*(y-1)*(y-3)+
      +(-1)*(x-1)*(x-3)*(y-1)*(y-2)+
      +(-1/2)*(x-1)*(x-2)*(y-1)*(y-3)+
      +(-1/2)*(x-1)*(x-3)*(y-2)*(y-3)+
      +(1/2)*(x-2)*(x-3)*(y-2)*(y-3)

Cînd x = 1 și y = 2, adică primul caz din cele cinci, sînt nuli toți termenii sumei în afară de primul. Prin ajustarea coeficientului (factorul -3/2 din termen) am făcut ca valoarea termenului să fie 3, atît cît trebuie pentru primul caz. Restul termenilor devin și ei nenuli cîte unul în fiecare caz, cu coeficienți să iasă z cît trebuie.

Evident, formula se mai poate pieptăna și scurta dînd factori comuni, dar cred că forma cea mai inteligibilă e asta lungă.

Expert (12.9k puncte)
0 0
Foarte interesantă abordarea, felicitări. E o soluție corectă și ingenioasă.

Să mai vedem și alte propuneri.
0 0
Mulțumesc. Între timp mi-am dat seama că formula pe care am compus-o e cam prea precaută și se mai poate simplifica puțin la termenii al doilea și al treilea:

z =   (-3/2)*(x-2)*(x-3)*(y-1)*(y-3)+
      +(1)           *           (y-1)*(y-2)+
      +(1/2)*(x-1)*(x-2)                   +
      +(-1/2)*(x-1)*(x-3)*(y-2)*(y-3)+
      +(1/2)*(x-2)*(x-3)*(y-2)*(y-3)

Simplificarea vine din faptul că dacă y = 3 nu mai e nevoie să verific ce valoare are x (e inevitabil 2), ceea ce simplifică termenul al doilea. La fel și invers, dacă x = 3 nu mai verific cît e y, pentru termenul al treilea. Coeficienții celor doi termeni au trebuit schimbați ca să iasă din nou z corect.
3 plusuri 0 minusuri

Mai dau o soluție, iar de data asta cred că pot să pun pariu că mai simplu decît atît nu se poate.

Termenul curent se poate calcula cu formula:

an = (an-1 + 1) / an-2

Ca s-o găsesc am procedat astfel: am reprezentat într-un spațiu cartezian pozițiile punctelor (an-2, an-1) și la fiecare punct am scris valoarea corespunzătoare a lui an. Sînt numai cinci puncte distincte, care apoi se repetă periodic. Atunci am observat că valorile puse în grafic se aliniază pe trei drepte care trec prin punctul (0, -1). În plus, valorile formează progresii aritmetice pe orice secțiune cu x constant a graficului. De exemplu, pentru abscisa x = 1, an ia valorile {1, 2, 3} cînd ordonata y ia valorile {0, 1, 2}.

În timp ce ideea cealaltă funcționează la fel pentru orice șir (în anumite condiții nu prea restrictive), soluția de față merge numai printr-o întîmplare și nu se poate generaliza.

Expert (12.9k puncte)
0 0

Da, este o formulă corectă și concisă. Cred că vă complicați cu sistemul de axe carteziene. Eu am încercat să văd cum l-aș putea obține pe 3 din 1 și 2, apoi pe 2 din 2 și 3, pe 1 din 3 și 2 și iarăși pe 1 din 2 și 1 și tot așa, căutând un tipar comun tuturor cazurilor. Am dat astfel și peste formula din răspunsul dumneavoastră cum, natural, fără pretenții sau afectare, am găsit și formula a= [(an-2 + an-1)/an-2], unde [...] reprezintă funcția parte întreagă. 

Sau, pentru a-l exprima pe anumai în funcție de predecesorii lui, putem modifica formula dumneavoastră astfel: a= (an-1 + sign(an-2))/an-2.

Merge și sign(an-1) și cine știe în câte feluri ne mai putem juca.

Dar, deși acest al doilea răspuns e mai simplu, îmi place mai mult primul dumneavoastră răspuns care se distinge prin ingeniozitate și originalitate.  

0 0
Eu gîndesc mai degrabă geometric decît cu formule. De-asta mi-a fost mai ușor să găsesc soluția după ce am așezat numerele în plan.
0 0
De departe este cea mai frumoasa solutie posibila. Felicitari AdiJapan.
0 0
Mulțumesc. E greu de spus care dintre soluții e mai frumoasă: cea foarte simplă care merge numai întîmplător sau cea complicată care se poate generaliza. Și mie îmi place soluția simplă, dar Puiu probabil preferă ideile cu mai multă aplicabilitate, și-l înțeleg.
...