Nu există.
Fie ah, am și as unghiul făcut de fiecare limbă cu referința (diviziunea notată cu 12). Ecuația timpului pentru cele trei unghiuri este:
ah = t / 120
am = t / 10
as = t * 6
unde timpul t este măsurat peste tot în secunde, iar unghiurile sînt măsurate în grade.
Pentru a obține configurația „Mercedes” din problemă, trebuie ca unghiul dintre orar și minutar să fie un multiplu de 120° și în același timp să nu fie un multiplu de 360°. Asta se întîmplă dacă se îndeplinește relația:
am - ah = k * 120
unde k e un număr întreg, nedivizibil cu 3 și între anumite limite pe care le vom afla.
Înlocuind ah și am cu ecuațiile timpului respective și rezolvînd, obținem următoarele momente care ar putea fi soluții:
t = k * 14400 / 11
Configurația ceasului se repetă cu o perioadă de 12 ore, deci trebuie căutate numai acele t-uri între 0 și 12 h, exclusiv. Asta înseamnă că pentru k sînt utile numai următoarele valori: de la 1 la 32, mai puțin multiplii de 3, adică un număr de 22 soluții potențiale, care deocamdată respectă doar condiția unghiului dintre orar și minutar.
O altă condiție pentru a obține configurația „Mercedes” este ca și unghiul dintre minutar și secundar să fie tot de 120°. Calculăm unghiul respectiv în funcție de timp:
as - am = t * 59 / 10
Înlocuim t cu setul de soluții potențiale găsit anterior și obținem:
as - am = k * 59 * 14400 / 11
Acest unghi diferență trebuie să fie un multiplu de 120°. Pentru asta trebuie să fie mai întîi un număr întreg, dar acel 11 de la numitor face ca singurele soluții posibile să fie cele cu k = 11 sau k = 22. Verificăm cele două cazuri.
Pentru k = 11 iese t = 14400 s = 4 h, adică că orarul se află la diviziunea marcată cu 4. În momentul respectiv minutarul și secundarul se află amîndouă sus, unghiul dintre ele este 0, deci nu e o soluție.
Pentru k = 22 iese că t = 8 h. Iarăși secundarul și minutarul sînt suprapuse, deci nu e o soluție.
Nu a mai rămas nici o soluție potențială de verificat, deci problema nu are nici o soluție.
Pentru ca ceasul să ajungă în configurația „Mercedes” exactă ar trebui ca între vitezele de rotație ale limbilor să existe o relație mai „frumoasă”, de exemplu vitezele să formeze o progresie aritmetică.
