Doar pentru cei pasionaţi de matematică - I

Question

Poate cineva să determine toate  numerele de trei cifre divizibile cu 11, cu proprietatea că dacă permutăm între ele, fie primele două cifre, fie ultimele două cifre, obţinem numere prime? Cu prietenie pentru pasionaţii de matematică.

Answer 1

Pornim de la două observații:

1.Din criteriul de divizibilitate cu 11 rezultă că un număr format din 3 cifre, de forma abc (considerați bara deasupra :)), dacă e divizibil cu 11, atunci există relația b = a + c. 

2. Orice număr prim scris cu 2 sau mai multe cifre nu poate avea ca cifră a unităților decât 1, 3, 7 sau 9.

a) Din condiția 2. rezultă că cifra b din mijloc, cea care va deveni cifra unităților după inversare nu poate fi decât 1, 3, 7 sau 9. Se vede însă că dacă ea e 3 sau 9, din b = a + c, numărul este, indiferent de ordinea cifrelor, divizibil cu 3 sau 9, deci nicio inversare nu-l va face prim. Reținem deci doar variantele cu 1 și 7, care ne dau următorii candidați:

110, 275, 572, 374, 473, 176 și 671.

Inversînd ultimele două cifre obținem 101, 257, 527, 347, 437, 167 și 617. Dintre acestea, prime sunt: 101, 167, 257, 347 și 617 (am căutat într-un tabel de prime).

În concluzie, numerele formate din 3 cifre, divizibile cu 11 și care, prin inversarea ultimelor două cifre dau numere prime sunt: 110, 275, 374, 176 și 671.

b) În al doilea caz cifra unităților rămâne neschimbată și aplicând condiția 2)  rezultă că ea trebuie să fie 1, 3, 7 sau 9.

Construim respectând condiția 1. toate numerele de 3 cifre, divizibile cu 11 care au aceste cifre ale unităților: Ele sunt:

121, 231, 341, 451, 561, 671, 781, 891 pentru cifra unităților egaă cu 1,

143, 253, 363, 473, 583, 693 pentru cifra unităților egală cu 3,

187, 297 pentru cifra unităților egală cu 7.

Nu putem construi un număr cu cfra unităților egală cu 9 din condiția 1.

Din aceste numere excludem pe cele a căror divizibilitate cu 3 sau 9 nu va fi afectată de inversare, adică : 231, 561, 891, 363, 693 și 297.

Invresăm primele două cifre ale candidaților rămași și obținem șirul: 211, 431, 541, 761, 871, 413, 523, 743, 853 și 817. Numerele scrise cu roșu sunt neprime, restul sunt prime.

În concluzie, numerele de 3 cifre, divizibile cu 11 și cu proprietatea că, dacă inversăm primele 2 cifre dau numere prime sunt:

121, 341, 451, 671, 253, 473 și 583.

EDIT: Acum, după ce am văzut răspunsul lui AdiJapan realizez că nu am tratat situația în care (a + c) - (b + 0) = 11. Mi s-a părut că nu e nevoie pentru numere de 3 cifre. Era.

Comments

Asta da matematică patentată de dvs.. Şi informatica este extrem de eficientă,, nu mi-a trecut prin cap să fac ceva în stilul lui AdiJapan  pentru că întrebarea era de matematică încercată cu pixul în mînuţă şi cu farmecul de rigoare. Bravo amîndururora, sau cam aşa seva, se scrie,, nu prea am chef acum să chiţibuşesc româna , dar sigur vă spun tuturor iubitorilor de scientia.ro şi mai ales pasionaţilor de matematică,: cu prietenie (ha, P)  şi poate vreodată voi mai pricepe matematică, fizică, teoretică şi mai ales aplicată de lla aceşti omuleţii pricepuţi care m-au  încântat timp de vreo doi ani cu soluţiile, informaţiile şi prietenia lor. Un colţişor numai bun să spun pa şi la revedere oamenilor pe care i-am apreciat sau i-am înjurat în felul meu delicat.

Answer 2

Numerele cerute sînt următoarele:

110, 121, 176, 209, 253, 275, 319, 341, 374, 407, 451, 473, 517, 517, 539, 539, 583, 616, 638, 671, 671, 715, 737, 803, 836, 847, 913, 935, 979.

Mai exact, numerele care devin prime după inversarea primelor două cifre sînt:

121, 209, 253, 319, 341, 407, 451, 473, 517, 539, 583, 671, 803, 847, 913,

iar cele care devin prime după inversarea ultimelor două cifre sînt:

110, 176, 275, 374, 517, 539, 616, 638, 671, 715, 737, 836, 935, 979.

Evident, n-am stat să calculez, ci am făcut un mic progrămel care ia toți multiplii de 11 scriși cu 3 cifre, inversează primele/ultimele două cifre și verifică dacă numărul obținut e prim. Dacă e, îl pune într-o listă.

Comments

Mi se pare mult mai bun raspunsul tau ,e o problema mai apropiata de programare.Acel mic programel e imposibil pentru multa lume.

Felicitari.Suna mai frumos o problema in care sa se ceara sa scrie un program care sa faca acest lucru.

---

zec, de curiozitate ce limbaj de programare ( - mathlab-ul prietenului din Japonia) aţi utiliza pentru a găsi o soluţie care nu este la îndemâna multora?

---

Zec, programul are numai cîteva linii. Iată-l:

for n=110:11:990
  s=num2str(n);
  s1=[s(2),s(1),s(3)];
  n1=str2num(s1);
  if isprime(n1)
    fprintf('%.0f, ',n);
  end
 
  s2=[s(1),s(3),s(2)];
  n2=str2num(s2);
  if isprime(n2)
    fprintf('%.0f, ',n);
  end
end

Singura problemă în limbajele de uz general este dacă au funcția isprime, care determină dacă un număr întreg e prim sau nu. În limbajele care nu o au trebuie scrisă. Nu cred că e mare lucru, mai ales la numere mici și cînd nu se pune problema de eficiență sau viteză. Dar din cîte știu, azi mai toate limbajele de programare au biblioteci vaste de funcții matematice, între care și funcții legate de numerele prime.