Abia acum am observat în enunț că distanța de 60,5 mm se dă între fața plană a lentilei și ecran. Îmi cer scuze. E vina mea, nu a enunțului. Am adăugat un PS în răspuns.
Dacă într-adevăr ecranul e la 10,5 mm de vîrful lentilei, atunci soluția e simplă. Cel mai practic e să ne gîndim că indicele de refracție 1,41 a vrut să fie de fapt radical din 2, ceea ce simplifică foarte mult găsirea soluției. Cea mai exterioară rază luminoasă care nu suferă reflexie internă totală este cea care are pe suprafața sferică unghiul de incidență de 45°, caz în care unghiul de refracție e de 90° (tangentă la sferă), deci sosește pe ecran cu o înclinare de 45°. Dacă ecranul nu ar fi acolo, raza aceea s-ar intersecta cu axa optică într-un punct F aflat la o distanță de 70,7 mm de centrul sferei (diagonala unui pătrat cu latura de 50 mm). Cum ecranul e pus cu 10,2 mm mai aproape de lentilă decît punctul F, înseamnă că diametrul petei este de 20,4 mm.
Atunci discuția despre pata interioară nu mai e necesară, pentru că acum nu mai avem nici un fel de pată interioară. Ecranul e prea aproape de lentilă ca să mai aibă loc o intersecție a razelor cu ele însele, deci imaginea care se formează e un simplu disc luminos. Dar ca principiu vă pot spune cum s-ar proceda. Se construiește o funcție s(r) care are ca argument r distanța dintre raza de intrare și axa optică, iar ca valoare s distanța pe ecran dintre locul unde sosește raza și centru (punctul unde înțeapă axa optică ecranul). Cînd ecranul e pus suficient de departe de lentilă, funcția aceasta are următoarea formă. Mai întîi s crește aproximativ liniar cu r, pentru că ne aflăm în aproximația de lentilă subțire. Apoi se manifestă aberația sferică, care în cazul de față face ca s să crească din ce în ce mai încet, pînă atinge un maxim. Acela este locul primului disc luminos. Pe măsură ce r crește în continuare, s scade, trece dincolo de zero, iar în momentul cînd se atinge condiția de reflexie internă totală raza nu se mai poate refracta și deci funcția s nu mai este definită. Acela e locul discului mare. (Discurile sînt mic și mare în condițiile noastre concrete, dar pot fi și invers.) Așadar rezolvarea constă în a calcula această funcție și a-i găsi derivata. Acolo unde derivata devine zero avem raza primului disc luminos. Dar derivatele se învață mai tîrziu în liceu (dacă îmi amintesc bine), deci nu merg folosite într-o problemă de clasa a noua.