Matematică interbelică II ( in memoriam GM )

Question

Dintr-un con circular drept, să se taie un cilindru circular drept şi o sferă, astfel încît să se piardă cît mai puţin material.

Comments

Enunţ simplu, rezolvare dificilă?

Answer 1

Aceasta problema are dificultate mare din cauza aspectului de a pierde cat mai putin material.

 Aici e partea grea de justificat .La prima vedere solutia ar fi data de sfera inscrisa in con si un cilindru inscris in zona ramasa libera in varf sau la baza.Cilindru care ar fi pozitionat ca un cilindru inscris in con cu baza tangenta la sfera .

 Problema admite si o alta interpretare .Cum cilindrul e circular drept evident el ocupa cat mai mult spatiu in con circular drept daca cilindrul sta drept.Deci daca sectionam transversal am obtine o problema de genul urmator.

 Sa se inscrie intr-un triunghi isoscel un cerc si un dreptunghi ce are una din laturi paralela cu baza astfel incat sa se acopere cat mai mult din aria triunghiului.

Edit:

Referitor la problema inscrieri unui dreptunghi intrun triunghi(nu neaparat isoscel) de arie maxima.

Problema aceasta se rezolva astfel..Dreptunghiul de arie maxima in triunghiul initial trebuie sa aiba 2 din varfuri pe una din laturi altfel acel dreptunghi ar avea un varf in interior si ar putea fi supus unor miscari de rotatie si translatie aducandul cu 2 varfuri pe una din laturi ce contrazice posibilitatea realizari unui maxim in aceste conditii.

Se duce o inaltime pe latura cu cele 2 varfuri si se imparte triunghiul in 2 triunghiuri dreptunghice.Problema revine la a gasi un dreptunghi de arie maxima in triunghi dreptunghic.Nu am sa rezolv aceasta problema eu am rezolvato si maximul e atiins atunci cand lungimea si latimea dreptunghiului sunt jumatati din catete,de aici rezultand un fapt interesant si anume ca aria maxima in acest caz e jumatate din aria triunghiului.In concluzie dreptunghiul de arie maxima este determinat de mijloacele a 2 laturi si picioarele perpendicularelor acestor mijloace pe ceea de a 3-a latura.

 Revenind la problema initiala concluzionam ca cilindrul maxim ar avea volumul maxim ca fiind jumatate din volumul conului.Dar in schimb aria cercului are un raport mai bun fata de cel al dreptunghiului si deci cercul inscris are arie mai mare .Deci  sfera are volum mai mare.Astfel solutia problemei este :

-Se inscrie o sfera in con se duce planul tangent cu sfera si paralel cu baza si se inscrie cilindrul conform cu ideea de la dreptunghi in acest con mai mic.

Comments

Se pare ca aceasta constructie este cea cu volum maxim. E mai complicata justificarea riguroasa. La corpurile de revolutie volumul nu este proportional cu aria sectiunii axiale. La cilindru raportul este mai mare decat la sfera cu aceeasi arie si raza (1,57/1,33). Nici volumul maxim al cilindrului inscris in con nu este la jumatate din inaltimea conului, ci la mai putin. Rezolvarea corecta a problemei presupune analiza matematica, respectiv calculul maximului unei functii in cele doua configuratii: cu sfera la baza si cu cilindrul la baza.

---

Da asa e ,de aceea este si dificila.

Si intradevar arii egale nu inseamna volume egale la corpuri de rotatiii.Ca idee eu am incercat sa simplific un pic problema  ca mod de interpretara ,dar clar ca din cauza acestui aspect nu merge asa rezolvata.

 Totusi problema cilindrului de volum maxim duce la o functie polinomiala de grad 3 care nu e asa greu de aflat.Din cauza ca nu se poate edita prea bine aici ,am renuntat la ideea unei solutii riguroase.

Din cauza acestor aspecte de analiza matematica problema pierde din farmec ,devine o problema pura de calcul .Am intalnit diferite probleme de genul acesteia dar care aveau farmec din cauza existentei unei solutii de alt gen.

---

$puriu : felicitări pentru comentariul extrem de corect, aproape că mi-aţi luat cuvintele de pe buzele mele frumoase. Jos bentiţa în faţa intuiţiei dvs.

$zec : mulţumesc pentru tentativa de răspuns.

Cu simpatie... tuturor celor care au sucit cilindrul, sfera şi conul, poate chiar au şi derivat sau integrat.

---

Nu sunt matematician, dar matematica de liceu este ca mersul pe bicicleta, nu se uita niciodata. Depinde cand ai facut liceul. Eu l-am facut in urma cu 50 de ani.

---

Peste 50 (+/-) de ani mi-aş dori să am memoria şi mai ales spiritul actual al dvs.