Pregătire pentru teza la matematică ( II )

Question

Cum se demonstrează că numărul N = 2000 ! + 1 este divizibil sau nu cu 4001 ?

 

Answer 1

Este o problema mai potrivita olimpiadelor decat unei teze.

 Raspunsul este nu .

Pentru a intelege acest raspuns am sa aduc in atentie cateva teoreme despre numerele prime.

1Teorema lui Wilson

p>1 prim daca si numai daca p|(p-1)!+1

2Teorema lui Simionov

p prim daca si numai daca p|k!(p-k-1)!+(-1)^k unde k este un numar natural intre 0 si p-1.

Si acuma justificarea raspunsului.

Intrucat 4001 este numar prim putem aplica teorema lui Simionov pentru p=4001 si k=2000 si obtinem ca 4001|2000!^2+1.Sa presupunem prin absurd ca 4001|N

atunci ar rezulta ca 4001|N^2=2000!^2+2*2000!+1 si tinand cont de rezultatul din teorema am obtine ca 4001|2*2000! ceea ce este o contradictie intrucat in produsul numerelor respective nu apare nici un factor prim egal cu 4001.astfel ce am prespus este fald si concluzionam ca 4001 nu divide N.

Legat de teorema lui Simionov ea se demonstreaza cu ajutorul teoremei lui Wilson.

Comments

intrebare suplimentara. N poate fi divizibil cu vreun nr prim mai mare decat 2001 ?

---

Intrucat N nu divide nici un numar prim mai mic decat 2000 evident ca are in descompunerea sa numere prime mai mari ca 2000.Asta in ipoteza ca ar fi compus.nu am idee daca N poate sa fie prim.

---

Legat de teorema lui Simionov, habar n-aveam de ea şi chiar am găsit-o destul de greu pe Internet, cu tot cu demonstraţie.

---

evident ca e o teorema pe care nu o intalnesti decat prin reviste sau carti de specialitate.Nici eu nu le stiu pe toate:D,dar stiu ca exista ceva pe undeva si pe unde sa caut.