Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
361 vizualizari

Care sunt valorile lui n, număr natural, pentru care expresia (3^n)-1 se divide cu 13?

 

Senior (6.6k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

(3^n) -1 = (3-1)*( 3^0+3^1+...... +3^(n-1)  )

Eliminăm 3-1=2, nu are nicio relaţie de niciun fel cu 13, deci suma 3^0+3^1+...... +3^(n-1) trebuie să fie divizibilă cu 13. Remarcăm că 3^0+3^1+3^2 = 13,  rezultă că numărul membrilor sumei trebuie să fie multiplu de trei, deci şi n = multiplu de 3. Soluţia este n=k*3, k mai mare sau egal cu 1. Îmi pare rău pentru redactare, nu am avut altă soluţie la îndemînă. Revin şi precizez, poate am fost prea evazivă: dacă numărul membrilor sumei sus-amintite nu este un multiplu de 3, ar însemna ca 3^p, sau 3^p +3^(p+1) = (3^p)*4, să aibă ca divizor numărul prim 13, ceea ce este imposibil, deocamdată.

Senior (5.0k puncte)
0 0
Daca  13/ (3ⁿ-1)  →  3ⁿ=13t+1.   Se observa ca 3³ᵏ=13t+1,  3³ᵏ⁺¹=13t+3, 3³ᵏ⁺²=13t+9

⇒n=3k, k∈N
0 0
@Gheorghița. O rezolvare ingenioasă și cu atât mai interesantă pentru mine cu cât diferă de abordarea mea când am compus problema. Uite cum am gândit-o eu:

E=(3^n)-1=(3^(3k+m)-1, unde m ia valorile 0, 1 sau 2 =>

E=(3^3k)*(3^m)-1=(27^k)*(3^m)-1 => E modulo13=(1^k)*(3^m)-1 modulo 13

Se observă ca E modulo 13 = 0 pentru m=0, adică n=3k.

@Trabuk. De ce vă limitați la un comentariu lapidar și nu dați un răspuns?
...