Sectiunea de aurProbabil aţi auzit că de mii de ani omenirea a fost fascinată de aşa-numita secţiune de aur, care reprezintă valoarea raportului 1/φ (pronunţat “fi” în greceşte şi în SUA sau “fai” în multe alte ţări). φ are valoarea aproximativă de 1,618.

 

 

 

φ este un număr iraţional, cu număr infinit de zecimale, definit ca raportul  (1+√5)/2.

Un dreptunghi de aur, ale cărui laturi sunt proporţionale cu raportul (secţiunea) de aur, este o idee mai „turtit” decât un televizor HD. Acest dreptunghi este agreat ca fiind cel mai plăcut estetic, totodată putând fi identificat în proporţiile create de natură pentru o varietate de vietăţi, inclusiv chipul uman perfect. Mari compozitori, artişti şi arhitecţi sunt creditaţi pentru folosirea acestui raport în creaţiile lor. Jucătorii de pe pieţele financiare crează formule care se bazează pe el. Oriunde în propriul cămin, veţi găsi multe obiecte a căror formă este surprinzător de asemănătoare cu un dreptunghi de aur: cărţi, aparate, capace de tablouri electrice, cărţi de joc, tablouri, ferestre. Oamenii l-au descoperit în structura ADN-ului şi în modul de aranjare a moleculelor în cristale. şi cel mai faimos, Partenonul grecesc, un simbol al arhitecturii, se spune a fi aproape în întregime bazat pe secţiunea de aur. Mulţi consideră că, datorită prezenţei copleşitoare a acestui număr atât în natură, cât şi în construcţii, este raportul divin.

Numărul φ şi secţiunea de aur sunt cel mai bine cunoscute pentru unicele proprietăţi matematice şi geometrice. Dacă se consideră un dreptunghi ale cărui laturi sunt proporţionale cu raportul de aur, se poate forma un pătrat la unul dintre capetele acestuia, iar dreptunghiul mai mic rezultat are aceleaşi proporţii ca şi cel iniţial. Dacă se repetă operaţia pe dreptunghiul obţinut se obţine un dreptunghi de aur tot mai mic, această operaţie putând continua la infinit. Aceasta este proprietatea geometrică de bază a secţiunii de aur.

Proprietatea fundamentală a numărului φ este că acesta este, la limită, raportul a numere succesive din seria Fibonacci. Seria Fibonacci este compusă din valori egale cu suma a două valori precedente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, s.a.m.d. 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, la nesfârşit. Pe măsură ce această serie converge spre infinit, raportul unui număr din serie la un număr precedent converge către φ, însă deoarece seria este infinită, raportul nu atinge valoarea φ. Deci φ este limita seriei formată din rapoartele acestor numere. Ajungând la poziţia 40 din seria Fibonacci, care este 102.334.155,  raportul apropiat de φ este obţinut cu o acurateţe de 15 zecimale.

Totuşi, cea mai interesantă manifestare a lui φ în natură este alta. Are de-a face cu aranjarea eficientă. Când un arbore este privit drept de sus în jos, acesta funcţionează cel mai eficient dacă majoritatea frunzelor sunt vizibile şi nu sunt în umbra altor frunze. Pe măsură ce creşte un lăstar, acesta urmează o formulă genetică pentru a şti cât de des să producă o frunză şi la ce unghi de frunza precedentă. Dacă ar produce o frunză la fiecare sfert de rotaţie, fiecare frunză ar fi umbrită de a patra frunză deasupra ei. De fapt, indiferent de orice raport de numere întregi pentru o rotaţie am folosi, vom sfârşi cu un tipar şi frunze ce se vor umbri. Aşadar, evoluţia a dus la o instrucţiune genetică mai eficientă: φ. Dacă se produc φ frunze pe rotaţie – puţin peste 137.5˚ între frunze consecutive – nicio frunză va fi umbrită de o alta. Acest unghi este numit unghiul de aur.

Se observă un exemplu evident şi foarte specific pentru acest tipar pentru seminţele din centrul florii-soarelui. Bobocii de floare, din care se formează seminţele, cresc dinspre centrul florii, iar fiecare împinge o sămânţă existentă spre exterior. Deoarece fiecare nouă sămânţă creşte la un unghi de aur faţă de predecesoarea sa, floarea-soarelui are configuraţia în care seminţele sunt cât mai eficient aranjate pe capul florii, indiferent de cât de mare va creşte ea. Acest tip de aranjament produce tipare circulare vizibile întretăiate care se dezvoltă în ambele direcţii pe capul florii. Nu este o coincidenţă că, indiferent de mărimea florii, numerele de spirale în sens orar şi antiorar reprezintă numere consecutive din seria Fibonacci. Seminţele dintr-un con de brad şi alte structuri similare din lumea vegetală respectă acelaşi tipar. 

Această tendinţă a rapoartelor bazate pe valoarea lui φ de a fi nerepetitive are aplicaţii în inginerie. Una dintre cele mai familiare astfel de aplicaţii este în construcţia camerelor de sunet folosite pentru a asculta muzică sau vizionarea filmelor, camere în care se doreşte eliminarea ecourilor şi rezonanţelor sonore. Inginerii de sunet vorbesc despre raportul camerei de aur, care stabileşte dimensiunile ideale de bază pentru o cameră de sunet, acestea fiind 10x16x26. Înălţimea camerei 10 x φ ≈16, care este lungimea camerei, iar 16 x φ ≈ 26, care dă lăţimea camerei. Orice linie dreaptă diagonală care parcurge interiorul unui dreptunghi de aur se va reflecta la infinit fără a-şi repeta traiectoria, deci undele sonore se dispersează într-o astfel de cameră cât mai eficient posibil.

 

 

Contrar multor publicaţii care spun contrariul, istoria exactă a înţelegerii de către om a raportului de aur nu este cunoscută. În jurul anului 500 î.e.n, matematicianul grec Pitagora a înfiinţat şcoala pitagoreică, al cărei simbol era o pentagramă. Pentru o stea înscrisă într-un pentagon, raportul tuturor segmentelor de dreaptă este raportul de aur; deşi se pare că ar fi trebuit să ştie despre raport, Pitagora nu a lăsat nici o notă care să ne sugereze acest lucru. O definiţie mai concretă este dată mai târziu de Euclid, care stabileşte raportul de aur, în cartea sa Elemente, în jurul anului 300 î.e.n., numind-o raţia mediei şi extremei. Este aproape cert faptul că seria Fibonacci era cunoscută încă din acele vremuri; totuşi, certitudinea s-a întâmplat abia în anul 1200, când Leonardo Fibonacci a descris faimoasa serie ce îi poartă în prezent numele, nici una din lucrările lui Fibonacci nu reiese că acesta ar fi făcut conexiunea cu φ ori cu raţia de aur. În prezent aceste legături sunt bine înţelese, ele reprezentând metode matematice comune.

Apariţia raportului de aur în natură a condus, aproape inevitabil, la adoptarea şi alegerea acesteia de către numeroşi cercetători în aproape fiecare disciplină. Probabil cea mai cunoscută părere pseudoştiinţifică despre secţiunea de aur este aceea că Partenonul grecesc, faimosul templu de pe muntele Acropolis din Atena, este proiectat în jurul acestui raport. Mulţi amatori au suprapus dreptunghiuri de aur peste numeroase imagini ale Partenonului, pretinzând că au găsit o asemănare. Dar dacă se studiază cu adevărat aceste suprapuneri se poate observa că nu se potrivesc perfect, cel puţin nu mai mult decât alte dreptunghiuri s-ar potrivi. Acest lucru şi datorită faptului că nu există dovezi istorice sau documentare credibile că arhitecţii Partenonului, care au lucrat la construcţie, cu mai mult de un secol înainte de naşterea lui Euclid, ar fi ştiut despre raportul de aur în vreun anumit mod sau chiar de existenţa sa.

O altă presupunere pseudoştiinţifică este că raportul de aur se regăseşte în corpul uman. Întregi tomuri de inepţii au fost scrise, pretinzând că o multitudine de măsurători indică raportul de aur. Lăţimea umerilor comparată cu înălţimea capului; înălţimea buricului relativă la înălţimea întregului trup; lungimea antebraţului comparată cu cu distanţa de la cap la vârful degetelor; ş.a.m.d. Evident, aceste măsurători sunt diferite în funcţie de individ; probabil nu există nici un individ pentru care aceste afirmaţii sunt reale. Cu atât mai mult, lucrurile sunt arbitrare. Pentru orice număr, raport, sau formă, se poate descoperi o listă la fel de lungă de caracteristici ale corpului care sunt la fel de exacte.

Exemplul unei cărţi este unul relevant. Înălţimea şi lăţimea unei cărţi oarecare sunt determinate din convenienţă; se doreşte a fi convenabil proporţionată atunci când este închisă (nu prea înaltă), sau deschisă (nu prea lată). Unii spun că forma ideală a unei cărţi este de 1:φ, dar este greşit. O carte dimensionată să aibă aceleaşi proporţii fie că este închisă ori deschisă are forma 1 : √2  şi nu 1:φ. φ este semnificativ mai mare decât √2. În industria papetăriei, 1 : √2 este numit raportul Lichtenberg.

O realitate evidentă este că dreptunghiurile care sunt nici prea pătratice, nici prea înguste sunt cele mai atractive şi deseori cele mai folosite în design. Secţiunea de aur se află în plaja de valori pentru dreptunghiuri plăcute vizual, însă de asemeni sunt şi √2, √3 şi multe alte numere. Nu este nevoie să pretindem că există un raport perfect pentru toate aplicaţiile.

Un mod eficient de a deosebi formele reale ale prezenţei raţiei de aur de presupuneri născocite este întrebarea dacă aceasta serveşte unui scop care nu poate fi îndeplinit de un număr asemănător. Prezenţa unghiului de aur în cazul florii-soarelui are un scop precis şi este inevitabilă apariţia numărului φ. Un exemplu de născocire este presupunerea că fiecare dintre segmentele falangelor este mai lung decât următorul cu raportul de aur. Nu doar că acest lucru este greşit prin simpla măsurare, dar nu ar produce nici un beneficiu dacă ar fi adevărat, deci nu s-a produs această dezvoltare. Beneficiul îmbunătăţirii acurateţei la scări din ce în ce mai reduse de manipulare înseamnă că este utilă posesia degetelor cu segmente din ce în ce mai mici, deci cu asta ne-am ales. Însă nu este nevoie ca acest raport să fie raportul de aur sau o valoare apropiată, aşadar nu este cazul.

Un alt exemplu pseudoştiinţific este cel al scoicilor spiralate. O spirală de aur este aceea care are o curbură de φ ori mai deschisă cu fiecare sfert de cerc şi se spune adesea despre cochiliile de nautil că respectă această regulă. Fals. O spirală de aur este una dintre infinitele posibilităţi de spirale logaritmice. Pentru nautil este benefic să-şi menţină forma în timp ce creşte, iar acest scop este îndeplinit de aproximativ orice spirală logaritmică. Un factor de creştere al spiralei bazat pe φ nu aduce nici un alt beneficiu.

φ, raportul de aur şi seria Fibonacci sunt interesante din punct de vedere matematic şi prezintă manifestări naturale. Acest lucru nu înseamnă că totul, sau orice altceva, este bazat pe aceste relaţii. Popularitatea şi “măreaţa denumire” de “proporţie divină” au fost motorul care a dus la folosirea pseudoştiinţifică a numărului pentru orice şi totul deopotrivă. Aceia ce sunt setaţi în mod excesiv pe recunoaşterea tiparelor au auzit probabil de raportul de aur, acesta venindu-le în minte oricând văd un dreptunghi, o operă de artă celebră (precum Mona Lisa, care nu este bazată pe raportul de aur), sau tipare pe piaţa bursieră (care nu există defel, darămite cu raportul de aur), sau în numerologia din Biblie (doar dacă orice alt număr capătă o semnificaţie asemănătoare). Nu fiecare presupunere despre raportul de aur are la baza o hiperactivitate în domeniul recunoaşterii tiparelor, dar majoritatea au. În orice caz, o asemenea presupunere ar trebui să fie mereu un indiciu pentru o abordare sceptică.

 



Traducere realizată de Răzvan Gavrilă după The Golden ratio, cu acordul autorului.

Write comments...
symbols left.
You are a guest ( Sign Up ? )
or post as a guest
Loading comment... The comment will be refreshed after 00:00.

Be the first to comment.