Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Lectia de matematica:Formule trigonometrice

Creat de laurentiu, Martie 06, 2010, 07:35:00 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

laurentiu

O sa scriu doar formulele ,deoarece nu ma pricep prea bine sa fac triunghiuri(in cazul de fata dreptunghice),prin care sa dau si definitia acestor functii.
Incep:

       I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice [tex]\sin,\cos,tg,ctg[/tex] si relatiile fundamentale


     1)[tex]\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
     2)[tex]\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
     3)[tex]tg:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]tg(x+k\pi)=tg x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex],unde [tex]\mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z}[/tex];
     4)[tex]ctg:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]ctg(x+k\pi)=ctg x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
   Relatii fundamentale:
     i)[tex]\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R}[/tex];
     ii)[tex]tg x\cdot ctg x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2}[/tex];
     iii)[tex]1+tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}[/tex];
     iv)[tex]1+ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi[/tex].
    Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.

       II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale

     i)[tex]\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x}[/tex];
     ii)[tex]\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x}[/tex];
     iii)[tex]tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{ctg x}[/tex];
     iv)[tex]ctg^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{tg x}[/tex].
   Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice [tex]\mathbb{R}[/tex] este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care [tex]x[/tex] face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
       III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri

     i)[tex]\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/tex];
     ii)[tex]\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/tex];
     iii)[tex]\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/tex];
     iv)[tex]\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/tex];
     v)[tex]tg(x+y)=\frac{tg x+tg y}{1-tg x\cdot tg y}[/tex];
     vi)[tex]tg(x-y)=\frac{tg x-tg y}{1+tg x\cdot tg y}[/tex];
     vii)[tex]ctg(x+y)=\frac{ctg x\cdot ctg y-1}{ctg x+ctg y}[/tex];
     viii)[tex]ctg(x-y)=\frac{ctg x\cdot ctg y+1}{ctg x-ctg y}[/tex];
Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
     i)[tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex];
     ii)[tex]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x[/tex];
     iii)[tex]tg 2x=\frac{2tg x}{1-tg^2 x}[/tex];
     iv)[tex]ctg 2x=\frac{ctg^2 x-1}{2ctg x}[/tex].

       IV.Formule pentru transformarea produsului in suma

     i)[tex]\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}[/tex];
     ii)[tex]\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}[/tex];
     iii)[tex]\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}[/tex];
     iv)[tex]tg x tg y=\frac{tg x+tg y}{ctg x+ctg y}[/tex];
     v)[tex]ctg x ctg y=\frac{ctg x+ctg y}{tg x+tg y}[/tex];
     vi)[tex]ctg x tg y=\frac{ctg x+tg y}{tg x+ctg y}[/tex].
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.

       V.Formule pentru transformarea sumelor in produse

     i)[tex]\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
     ii)[tex]\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2})[/tex];
     iii)[tex]\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
     iv)[tex]\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2})[/tex];
     v)[tex]tg x+tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}[/tex];
     vi)[tex]tg x-tg y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}[/tex];
     vii)[tex]ctg x+ctg y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}[/tex];
     viii)[tex]ctg x-ctg y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}[/tex].
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.

       VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;

     Notatie:Pentru usurinta in redactare notez [tex]t=tg\frac{x}{2}[/tex],unde [tex]\frac{x}{2}[/tex]apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
      Sunt adevarate urmatoarele relatii:
     i)[tex]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex];
     ii)[tex]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex];
     iii)[tex]tg x=\frac{2t}{1-t^2}[/tex];
     iv)[tex]ctg x=\frac{1-t^2}{2t}[/tex].
   

PS:sper ca este bine.


Adi

Este excelent! Va iesi un articol minunat cand va pune Gothik pe site, toate adunate la un loc. Lumea chiar cauta pe google dupa "functii trigonometrice" si noi suntem deja sus pe google la aceste cautari.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

bbb

#2
Nu stiu daca in Romania se folosesc, dar in UK sunt foarte folosite si functiile [tex] \sec x=\frac{1}{cosx} [/tex] si [tex] cosec x=\frac{1}{sinx} [/tex].
In foarte multe probleme de trigonometrie se folosesc relatii in functie de sec si cosec, cum ar fi:
[tex]1+\tan^2 x= \sec^2 x
1+\cot^2x=cosec^2 x[/tex]
Acestea doua apar in aproape fiecare subiect de examen...

laurentiu

Eu tg si ctg nu le-am pus cu \tg,\ctg ca nu ar fi aparut cum trebuie .Am mers pe ideea sa pastrez traditia romaneasca in legatura cu aceste notatii ,chiar daca nu se vede frumos ca sin si cos nu va oberva nimeni diferenta ,adica nu sunt probleme de interpretare ctgx vor sti toti ca inseamna cotangenta de x.

bbb

Te referi la motivul pentru care am editat mesajul sau la ce?
In legatura cu tg si ctg, mi-am dat seama ca nu sunt puse cu \tg si \ctg doar cand am vazut codul LaTex pentru ele. Asa nici nu se observa, ai dreptate. Eu mi-am editat mesajul pentru ca apareau niste semne de intrebare in mijlocul formulei.
Dar eu in postul meu ma refeream la alte functii, "sec" si "cosec". Asa cum [tex] cotx=\frac{1}{tanx} [/tex], asa [tex] secx=\frac{1}{cosx} [/tex] si [tex] cosecx=\frac{1}{sinx} [/tex]. Dar ma rog, poate in Romania nu sunt asa de folosite.
PS: tan=tg si cot=ctg (sa nu existe confuzii)

Adi

Intr-adevar, secanta si cosecanta nu sunt prea folosite. Dar cand scriem in latex pe site vom scrie tan in loc de tg si cotan in loc de ctg. Este regretabil ca romanii folosesc notatii proprii, dar cand romanii vor scrie lucrari de licenta, masterat, doctorat sau articole de stiinta vor folosi notatia internationala, care este cea din Latex. Plus ca arata mai frumos cum este in Latex, cu formulele scrise drept, nu inclinate, ca atunci cand apare cand nu scrii \tan ci scrii tg. Pe viitor cred ca ar fi bine ca si pe forum sa scriem tot astfel. Pe site sigur vom scrie astfel.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

bbb

Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?

laurentiu

#7
Formule trigonometrice

       I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice [tex]\sin,\cos,\tan,\cot[/tex] si relatiile fundamentale


     1)[tex]\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
     2)[tex]\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
     3)[tex]\tan:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]\tan(x+k\pi)=\tan x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex],unde [tex]\mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z}[/tex];
     4)[tex]\cot:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cot(x+k\pi)=\cot x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
   Relatii fundamentale:
     i)[tex]\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R}[/tex];
     ii)[tex]\tan x\cdot \cot x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2}[/tex];
     iii)[tex]1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}[/tex];
     iv)[tex]1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi[/tex].
    Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.

       II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale

     i)[tex]\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x}[/tex];
     ii)[tex]\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x}[/tex];
     iii)[tex]\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cot x}[/tex];
     iv)[tex]\cot^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{\tan x}[/tex].
   Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice [tex]\mathbb{R}[/tex] este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care [tex]x[/tex] face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
       III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri

     i)[tex]\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/tex];
     ii)[tex]\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/tex];
     iii)[tex]\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/tex];
     iv)[tex]\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/tex];
     v)[tex]\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}[/tex];
     vi)[tex]\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot \tan y}[/tex];
     vii)[tex]\cot(x+y)=\frac{\cot x\cdot \cot y-1}{\cot x+\cot y}[/tex];
     viii)[tex]\cot(x-y)=\frac{\cot x\cdot \cot y+1}{\cot x-\cot y}[/tex];
Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
     i)[tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex];
     ii)[tex]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x[/tex];
     iii)[tex]\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}[/tex];
     iv)[tex]\cot 2x=\frac{\cot^2 x-1}{2\cot x}[/tex].

       IV.Formule pentru transformarea produsului in suma

     i)[tex]\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}[/tex];
     ii)[tex]\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}[/tex];
     iii)[tex]\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}[/tex];
     iv)[tex]\tan x \tan y=\frac{\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}[/tex];
     v)[tex]\cot x \cot y=\frac{\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}[/tex];
     vi)[tex]\cot x \tan y=\frac{\cot x+\tan y}{\tan x+\cot y}[/tex].
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.

       V.Formule pentru transformarea sumelor in produse

     i)[tex]\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
     ii)[tex]\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2})[/tex];
     iii)[tex]\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
     iv)[tex]\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2})[/tex];
     v)[tex]\tan x+\tan y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}[/tex];
     vi)[tex]\tan x-\tan y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}[/tex];
     vii)[tex]\cot x+\cot y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}[/tex];
     viii)[tex]\cot x-\cot y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}[/tex].
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.

       VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;

     Notatie:Pentru usurinta in redactare notez [tex]t=tg\frac{x}{2}[/tex],unde [tex]\frac{x}{2}[/tex]apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
      Sunt adevarate urmatoarele relatii:
     i)[tex]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex];
     ii)[tex]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex];
     iii)[tex]\tan x=\frac{2t}{1-t^2}[/tex];
     iv)[tex]\cot x=\frac{1-t^2}{2t}[/tex].
   



laurentiu

Citat din: Bianca Sala din Martie 06, 2010, 10:01:52 PM
Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica [tex]\sin x [/tex]

Adi

Citat din: laurentiu din Martie 06, 2010, 10:16:18 PM
Citat din: Bianca Sala din Martie 06, 2010, 10:01:52 PM
Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica [tex]\sin x [/tex]

DA, asa este, trebuie spatiu intre sin si x. Altfel latex nu cauta comanda sinx si nu o gaseste.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Adi

Ah, vad ca ai postat si cu notatiile de tan si cot. Mersi mult!
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

b12mihai

@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...

Un singur lucru a omis @laurentiu (asta la un studiu superficial) la definitia tangentei, respectiv a cotangentei ar fi trebuit precizat ca [tex] \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} [/tex] si [tex] \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x} [/tex], iar codomeniul pentru sin si cos e [-1,1], nu [0,1]. Am sa corectez erorile (cel mai probabil din neatentie facute) si am sa mai fac completari daca e necesar.
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

da ai dreptate gothik ,am uitat sa mai scriu formulele tangentei si cotangentei chiar daca pe tot articolu incercam sa-mi demonstrez in minte unele chestii legate de tangenta si apelam de multe ori la formula sin/cos ,chiar te rog mult sa modifici eroarea mea de scriere ,a fost din neatentie ca la o problema azi imi ramasese in gand un modul de sin x definit pe o R cu valori in [0,1] si de acolo am zis ca primitiva e crescatoare etc.Probabil de-asta am scris gresit

laurentiu

Mai erau de scris formulele de la unghiul triplu si linearizarea puterilor acestor functii da' era o gramada de scris .Sper sa apuc sa le scriu maine .Daca nu ai pus astea pe site ,nu le pune pana maine sa vin si cu acele formule .Sper ca pana cel tarziu maine seara sa le scriu aici .

Adi

Citat din: gothik12 din Martie 06, 2010, 11:21:12 PM
@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...

Atunci vom scrie cu bold, mare, sus ca in textele de mai jos notatia cunoscuta lor de "tg" se va nota cu "tan" si notatia de ctg se va nota cu "cot" si ca astea sunt notatiile internationale pe care le vor folosi si ei  mai tarziu, mai ales cand vor scrie lucrarile de licenta, master, doctorat sau articole stiintifice in Latex, asa cum e norma, si cum scriem si noi pe site. Prin urmare, notatiile acestea ii pregatesc pentru viata. Daca spunem asta in articol, vor intelege, iar care nu, e treaba lor.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro