Scientia

În acest episod al uimitoarei cărţi a lui David Peat, vorbim despre cum matematica se abstractizează (introducerea simbolurilor de către Leibniz, algebrizarea geometriei de către Descartes) şi despre propunerea lui Hilbert de a da consistenţă fiecărui domeniu al matematicii.

De la certitudine la incertitudine (16)

MATEMATICA SE ABSTRACTIZEAZĂ...

În secolul al XIX-lea, matematicienii au început să se întrebe "Ce s-ar întâmpla dacă am modifica una dintre axiomele lui Euclid, aşa, pentru amuzament? Să sugerăm de exemplu că două linii paralele se întâlnesc într-un punct!". O atare nouă axiomă nu are nicio legătură cu lumea în care noi trăim. Întrebarea cheie era "Dacă aducem o mică modificare unei axiome, va mai fi sistemul coerent din punct de vedere logic, formând astfel o nouă geometrie? Va fi această geometrie adevărată într-un alt univers?".

Pe scurt, matematicienii au început să se întrebe despre sistemele axiomatice abstracte, sisteme care nu mai descriu realitatea. În mod evident, în asemenea sisteme complet abstracte problema coerenţei este una de maximă importantă. Cum ştim noi, de pildă, că această geometrie alternativă nu este lipsită de contradicţii interne?

PUTEREA LOGICII

Problema consistenţei matematicii a fost mereu rezolvată prin apelul la logică. Leibniz, de exemplu, argumentează că logica este limba ideală pentru filozofi. Dar logica tradiţională a Greciei vechi, a Romei şi a Evului Mediu timpuriu se bazează pe argumente pur verbale: "dacă presupun A, atunci B trebuie să urmeze", "A nu poate fi A şi non-A în acelaşi timp". Leibniz a propus, de aceea, ca afirmaţiile verbale să fie înlocuite de şiruri de simboluri. Astfel s-a născut logica simbolică. Un şir de simboluri spune acelaşi lucru pe care îl spune o afirmaţie verbală, dar într-un mod mult mai economic. Mai mult, structura unui asemenea sistem este explicită şi clară, în acest fel fiind uşoară identificarea oricărei erori logice. Reducând toate argumentele la şiruri de simboluri logice, devine posibilă analiza demonstraţiilor fundamentelor matematicii într-o manieră riguroasă.

Dar care demonstraţii urmează a fi examinate? Până acum ne-am ocupat doar de adunare, dar matematica este mai mult decât numerele. Cum rămâne cu geometria, algebra şi aşa mai departe? Cum poate fi redusă geometria la şiruri de simboluri logice? Pentru a vedea cum, să mergem la Euclid şi la Elementele geometriei. Teoremele sale folosesc triunghiuri congruente, cercuri care se intersectează ş.a.m.d. Dar Descartes a arătat că fiecare punct al unui plan poate fi definit de două numere, coordonatele x şi y. În mod asemănător, o linie poate fi scrisă ca o ecuaţie - o linie dreaptă: y=3x, iar curba: y=x².

După propunerea lui Descartes, figurile geometrice pot fi reprezentate de ecuaţii algebrice. Aceasta înseamnă că teoremele în geometrie pot fi reduse la soluţii şi proprietăţi ale ecuaţiilor. Întreaga geometrie, împreună cu demonstraţiile sale, poate fi redusă la algebră. În schimb, algebra poate fi redusă la teoreme despre numere. Iar teoremele despre numere pot fi exprimate folosind logica simbolică. Procedând în felul acesta, toată matematica poate fi redusă la algebră, iar regulile algebrei pot fi analizate conform logicii simbolice.

Până la acest moment totul pare a fi în ordine. Dar atunci matematicianul David Hilbert a semnalat că reducând geometria la algebră, matematicienii au mutat problema pe terenul algebrei. David Hilbert a argumentat că are mai mult sens să faci coerent fiecare aspect al matematicii, în domeniul său. În loc să demonstrezi aspecte ce ţin de geometrie prin algebră şi în loc să interpretezi puncte din spaţiu ca numere, fiecare ramură a matematicii ar trebui redusă la un sistem formal de simboluri.

De la certitudine la incertitudine (18)

Traducerea este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.