Scientia

În acest episod vorbim despre paradoxul lui Russell, care indică faptul că există o problemă serioasă cu definirea numărului, aşa cum tocmai fusese ea făcută de Gottlob Frege. Russell observă că sunt clase care nu pot fi membre ale propriilor lor clase.

"De la certitudine la incertitudine" (14)

PARADOXUL LUI RUSSEL

Apoi Frege a auzit de la Bertrand Russell că există o muscă în ciorbă! Frege arătase că poţi pune bomboanele, merele, pantofii, porcii ş.a.m.d. în clasa lor specifică, iar apoi poţi potrivi membrii unei clase cu altă clasă pentru a determina ce au clase diferite în comun - adică numărul de obiecte din fiecare aceste clase. Dar Russell a obiectat: clasa bomboanelor nu este o bomboană şi nici un măr. Cu alte cuvinte, întrucât clasa tuturor bomboanelor nu este o bomboană, nu este un membru al propriei clase.

Nu este nimic şocant însă; este bun-simţ. O mulţime de clase nu sunt membre ale propriilor clase. Clasa merelor nu este un măr; clasa pantofilor nu este un pantof. Atunci de ce să nu inventăm o nouă clasă numită "clasa tuturor claselor care nu sunt membre ale propriilor clase"? Până acum totul pare a fi în regulă. Dar Russell vine cu următoare întrebare: este această clasă membră a propriei clase ori ba? Încercarea de a răspunde la această întrebare a evidenţiat o mare problemă a fundamentelor matematicii şi i-a făcut pe matematicieni şi pe filozofi să se îngrijoreze în privinţa certitudinii matematicii, care nu mai părea a fi atât de simplă şi evidentă cum speraseră.

Să punem paradoxul lui Russell în alţi termeni. Într-o mare librărie există o sală în care sunt cataloagele cărţilor. Multe cataloage fac trimitere către ele însele şi către alte cărţi. Dar unele cataloage fac trimitere doar către alte cărţi. Librarul trebuie deci să creeze un nou catalog numit "Marele catalog care conţine toate cataloagele care nu fac trimitere către ele însele". Treaba e aproape terminată, dar îi vine următorul gând: "Trebuie să înscriu acest catalog pe care tocmai l-am creat în propriile sale pagini ori nu?".

"Dacă îl las neînscris, atunci catalogul meu este incomplet", gândeşte librarul, "pentru că îi lipseşte o intrare, chiar Marele catalog". Aşa că începe să înscrie Marele catalog. Dar în timp ce face asta realizează că este neconsecvent pentru că acest catalog ar trebui să conţină referiri la cataloagele care nu fac referire la ele însele, iar el tocmai s-a apucat să treacă în Marele catalog o referinţă la el însuşi.

Librarul are o dilemă serioasă: dacă vrea să urmeze logica înscrierii cataloagelor care nu fac referire la ele însele, atunci catalogul este incomplet. Dacă trece Marele catalog în paginile sale, atunci încalcă logica originală şi devine neconsecvent în demersul său. Ce se aplică acestor cataloage, spune Russell, se aplică de asemeni şi definiţiei clasei numerelor. Printr-o singură lovitură Russell a demolat munca lui Frege şi a pus în lumină ceva foarte suspect chiar în "inima" matematicii.

Paradoxuri ca acesta au făcut şi mai importantă misiunea de a pune matematica pe baze solide, în care fiecare pas este logic şi fiecare argument este evident. După cum s-a putut vedea, Russell însuşi a fost unul dintre filozofii-matematicieni hotărâţi să contribuie la îndeplinirea acestei misiuni.

De la certitudine la incertitudine (16)

Traducerea este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.